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Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P - 1 A P .

a   A = 5 3 3 5

b   A = 0 0 2 0 - 1 0 2 0 0

Passo 1

a   Bom, o primeiro passo é achar os autovalores:

det ⁡ 5 - λ 3 3 5 - λ = 0

5 - λ 2 - 9 = 0

λ 2 - 10 λ + 16 = 0

Δ = 100 - 4 ∙ 1 ∙ 16

Δ = 100 - 64 = 36

λ = 10 ± 6 2 = 8   o u   2

Passo 2

Agora precisamos encontrar os autovetores:

λ = 8 :

- 3 3 3 - 3 x y = 0 0

- 3 x + 3 y = 0 ⇒ x = y 3 x - 3 y = 0 ⇒ x = y

Logo, o autoespaço associado é s p a n 1,1 .

λ = 2 :

3 3 3 3 x y = 0 0

3 x + 3 y = 0 ⇒ x = - y 3 x + 3 y = 0 ⇒ x = - y

Logo o autoespaço associado é s p a n 1 , - 1

Passo 3

Ele quer uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente. Ou seja, ele quer que P seja ortogonal (possua colunas ortonormais). Como os vetores que obtivemos 1,1 e 1 , - 1 já são ortogonais, temos apenas que normalizá-los. Logo:

1,1 1,1 = 1,1 2 = 1 2 , 1 2

1 , - 1 1 , - 1 = 1 , - 1 2 = 1 2 , - 1 2

Podemos então escrever nossa matriz P como:

P = 1 2 1 2 1 2 - 1 2

Passo 4

Por fim, poderíamos calcular P - 1 A P , que nesse caso seria equivalente a P T A P já que P é ortogonal. No entanto, sabemos que essa é uma matriz diagonal com os autovalores de A . Autovalores esses que já calculamos! Então, obedecendo à ordem que escolhemos para os autovetores em P , temos:

P - 1 A P = 8 0 0 2

Passo 5

b   Novamente, achamos os autovalores:

det ⁡ 0 - λ 0 2 0 - 1 - λ 0 2 0 0 - λ = 0

0 - λ - 1 - λ 0 - λ - 4 - 1 - λ = 0

λ 2 - 1 - λ - 4 - 1 - λ = 0

λ 2 - 4 - 1 - λ = 0

λ - 2 λ + 2 - 1 - λ = 0

Beleza, temos então três autovalores λ = 2 , λ = - 2 e λ = - 1 .

Passo 6

Agora precisamos encontrar os autovetores:

λ = 2 :

- 2 0 2 0 - 3 0 2 0 - 2 x y z = 0 0 0

- 2 x + 2 z = 0 ⇒ x = z - 3 y = 0 ⇒ y = 0 2 x - 2 z = 0

Logo, o autoespaço associado é s p a n 1,0 , 1 .

λ = - 2 :

2 0 2 0 1 0 2 0 2 x y z = 0 0 0

2 x + 2 z = 0 ⇒ x = - z y = 0 ⇒ y = 0 2 x + 2 z = 0

Logo o autoespaço associado é s p a n 1,0 , - 1

λ = - 1 :

1 0 2 0 0 0 2 0 1 x y z = 0 0 0

x + 2 z = 0 ⇒ x = - 2 z 2 x + z = 0 ⇒ x = - z 2

Temos então que:

- 2 z = - z 2 ⇒ z = 0 ⇒ x = 0

Como não temos nenhuma condição para y ele pode assumir qualquer valor!

Logo o autoespaço associado é s p a n 0,1 , 0

Passo 7

Novamente temos vetores ortogonais, mas ainda precisamos normalizá-los! Logo:

1,0 , 1 1,0 , 1 = 1,0 , 1 2 = 1 2 , 0 , 1 2

1,0 , - 1 1,0 , - 1 = 1,0 , - 1 2 = 1 2 , 0 , - 1 2

Podemos então escrever nossa matriz P como:

P = 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 - 1 2

Passo 8

Por fim, poderíamos calcular P - 1 A P , que nesse caso seria equivalente a P T A P já que P é ortogonal. No entanto, sabemos que essa é uma matriz diagonal com os autovalores de A . Autovalores esses que já calculamos! Então, obedecendo à ordem que escolhemos para os autovetores em P , temos:

P - 1 A P = 2 0 0 0 - 1 0 0 0 - 2

Resposta

a   P = 1 2 1 2 1 2 - 1 2 e P - 1 A P = 8 0 0 2

b   P = 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 - 1 2 e P - 1 A P = 2 0 0 0 - 1 0 0 0 - 2

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