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Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

UFRJ, P3-2019.1

Classifique as afirmativas abaixo onde A   é uma matriz tal que dim ⁡ N A < dim ⁡ N A T :

  1. A não pode ser injetiva.
  2. A não pode ser sobrejetiva.
  1. I é verdadeira e II é falsa
  2. Ambas são falsas
  3. I é fala e II é verdadeira
  4. Ambas são verdadeiras

Passo 1

Belezoca galerinha, primeiro de tudo, como temos as matrizes A e A T , podemos definir suas transformações, por exemplo, se:

A : R n → R m

Então sua transposta vai ser:

A T : R m → R n

Show de bola, agora q eu a gente definiu as transformações, podemos usar o Teorema do Núcleo Imagem para relacionar as dimensões, saca só:

dim ⁡ N A + dim ⁡ I m A = n

dim ⁡ N A T + dim ⁡ I m A T = m

Passo 2

Iradoso, e a primeira malandragem agora é que a gente pode usar aquela relação fundamental que diz que:

I m A ⊥ = N A T

dim ⁡ I m A ⊥ = dim ⁡ N A T

E o legal aqui é que o complemento ortogonal da I m A é dado por I m A ⊥ só que a dimensão desse complemento vai ser igual a dimensão do N A , ou seja:

dim ⁡ I m A ⊥ = dim ⁡ N A

Logo, podemos dizer que:

dim ⁡ N A = dim ⁡ N A T

**Atenção que aqui estamos afirmando que a DIMENSÃO do núcleo de A é igual a dimensão do núcleo da transposta. E NÃO que o núcleo de A   é igual ao núcleo de A T .

Belezoca então galera, outra coisa legal aqui é que o " ⊥ " e o " T "   , podem “flutuar”, ou seja, também podemos escrever a mesma relação, só que desse jeito:

I m A T = N A ⊥

Logo vamos descobrir da mesma maneira que

dim ⁡ I m A = dim ⁡ I m A T

Então quer dizer que na verdade nossos teoremas do Núcleo e Imagem que vimos no Passo 1, pode ser reescrito como:

dim ⁡ N A T + dim ⁡ I m A = m

dim ⁡ N A + dim ⁡ I m A T = n

Passo 3

Então podemos isolar os núcleos desse jeito:

dim ⁡ N A T = m - dim ⁡ I m A

dim ⁡ N A = n - dim ⁡ I m A T

Maaaasss, o enunciado disse pra gente que dim ⁡ N A < dim ⁡ N A T , logo:

n - dim ⁡ I m A T < m - dim ⁡ I m A

Só que vimos também no Passo 2, que dim ⁡ I m A T = dim ⁡ I m A , portanto:

n < m

Agora sim podemos descobrir se A pode ou não ser injetiva, e se pode ou não ser sobrejetiva.

Saca só, pra matriz ser injetiva, a dimensão do núcleo tem que ser igual a 0 :

dim ⁡ N A + dim ⁡ I m A = n

0 + dim ⁡ I m A = n

dim ⁡ I m A = n

E como a Imagem de A está no contradomínio R m , e m > n , então a dimensão da imagem pode sim ser a igual a n . Logo a primeira afirmativa é falsa.

Passo 4

Na segunda, queremos saber se a matriz pode ser sobrejetiva, e pra ela ser sobrejetiva a dimensão da imagem tem que ser igual a dimensão do contradomínio R m , logo:

dim ⁡ I m A = m

Então pelo Teorema do Núcleo e Imagem, temos que:

dim ⁡ N A + dim ⁡ I m A = n

dim ⁡ N A + m = n

dim ⁡ N A = n - m

Só que m > n , e dessa forma n - m < 0 o que NÃO PODE EM HIPÓTESE ALGUMA ACONTECER. Dessa forma nossa matriz realmente não pode ser sobrejetiva, a afirmativa (II) é verdadeira.

Letra (c)

Resposta

Letra (c).