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Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

A2 T14

Seja p ∈ P 2 R . Considere a transformação linear T : P 2 R → P 2 R dada por T p = x 2 p ' ' . Indique a resposta correta. (Abaixo, usamos a notação S p a n v 1 , … , v k para indicar o espaço gerado pelos vetores v 1 , … , v k . )

a   N u c T = S p a n 1 , x ,   I m T = S p a n x 2 .

b   N u c T = S p a n 1 ,   I m T = S p a n x , x 2 .

c   N u c T = S p a n 1,1 + x ,   I m T = S p a n x , x 2 .

d   N u c T = S p a n x , x 2 ,   I m T = S p a n 1 .

Passo 1

Bom, com uma olhada rápida nas opções a gente vê que ele trabalha bastante com os polinômios da base canônica do P 2 né? Então vamos aplicar a transformação que ele dá na base e ver no que dá:

ε = x 2 , x , 1

T x 2 = x 2 x 2 ' ' = x 2 2 x ' = 2 x 3 ' = 6 x 2

T x = x 2 x ' ' = x 2 ' = 2 x

T 1 = x 2 1 ' ' = x 2 ∙ 0 ' = 0

Opa, com isso vemos que o 1 tá no núcleo de T e que x e x 2 não estão haha. As únicas que falam isso são a b e a c né. Opa, mas e aquele 1 + x ali na c ?

Bom, pra começo de conversa aquela c ali nunca existiria! Ela ta falando que dim ⁡ N u c T = 2 e dim ⁡ I m T = 2 . Mas pelo T N I teríamos:

dim ⁡ N u c T ⏟ 2 + dim ⁡ I m T ⏟ 2 = dim ⁡ D o m T ⏟ 3 ⇒ 4 = 3

Então a certa é a b . Se você não percebeu isso de cara podia ter verificado que 1 + x não faz parte coisa nenhuma do núcleo de T :

T 1 + x = T 1 + T x = 0 + 2 x = 2 x

Resposta

Letra b