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Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

UFPE, Álgebra Linear I, 2 a EE -2017.2, Questão 2a

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique:

a) Existe transformação linear T : R 5 ⟶ R 2 cujo núcleo é dado por ker ⁡ T = { x 1 , … ,   x 5 ∈ R 5 ; x 1 = 3 x 2   e   x 3 = x 4 = x 5 }

Passo 1

Bom, o espaço que ele ta me falando é o conjunto de vetores do R 4 ,   ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) em que x 1 = 3 x 2   e   x 3 = x 4 = x 5 . Posso escrever esse vetor, então, dessa forma:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 = ( 3 x 2 , x 2 , x 3 , x 3 , x 3 )

Como temos 2 variáveis livres, chego à conclusão que esse espaço tem dimensão 2! Só pra ficar mais claro, vou achar a base dele:

3 x 2 , x 2 , x 3 , x 3 , x 3 = x 2 3,1 , 0,0 , 0 + x 3 ( 0,0 , 1,1 , 1 )

β = { 3,1 , 0,0 , 0 + 0,0 , 1,1 , 1 }

Passo 2

Bom, dimensão do núcleo nos lembra uma coisinha né?! Teorema Núcleo Imagem!

Vamos aplicar ele pra ver se descobrimos alguma coisa:

dim ⁡ ( K e r T ) + dim ⁡ ( I m T ) = dim ⁡ R 5  

2 + dim ⁡ I m T = 5

dim ⁡ ( I m T ) = 3

Vamos ver se isso faz sentido, essa transformação é do R 5 ⟶ R 2 , assim, o contradomínio tem dimensão 2. A imagem é um subconjunto do contradomínio, por isso, ela não pode ter dimensão maior que a dele!

Assim, essa afirmativa é falsa!

Resposta

Falsa