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Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

A2 T13 T14

Considere a transformação T : P 3 → M 2 × 2 que associa:

a + b x + c x 2 + d x 3 → a + b c d a - b

a Determine se a transformação é sobrejetora. Justifique sua resposta.

b Determine se a transformação é injetora. Justifique sua resposta.

c De termine se a transformação é inversível. Caso positivo, determine sua inversa. Justifique sua resposta:

Passo 1

a A imagem da transformação é dada por:

a + b c d a - b = a 1 0 0 1 + b 1 0 0 - 1 + c 0 1 0 0 + d 0 0 1 0

Como estes vetores geradores são todos L I , a imagem de T tem dimensão 4 . Como o contradomínio de T é M 2 × 2 que também possui dimensão 4 , temos que:

dim ⁡ I m T = dim ⁡ C D o m T

Logo, T é sobrejetora.

Passo 2

b Como temos:

dim ⁡ D o m T = dim ⁡ C D o m T

Pelo T N I , a matriz ser sobrejetora (provado em a ) implica em ela ser injetora.

Passo 3

c   Novamente, como temos

dim ⁡ D o m T = dim ⁡ C D o m T

a matriz ser injetora implica diretamente em ela ser inversível! Resta agora determinarmos a inversa!

Seja T - 1 a inversa de T , queremos que:

T - 1 a + b c d a - b = a + b x + c x 2 + d x 3

Tomando uma matriz 2 × 2 genérica k l m n e igualando a a + b c d a - b , temos:

k = a + b l = c m = d n = a - b       I I I I I I I V

Fazendo I + I V :

2 a = k + n

a = k + n 2

Fazendo I - I V :

2 b = k - n

b = k - n 2

Logo,

T - 1 a + b c d a - b = a + b x + c x 2 + d x 3

T - 1 k l m n = k + n 2 + k - n 2 x + l x 2 + m x 3

Resposta

a Sim.

b Sim.

c Sim. T - 1 k l m n = k + n 2 + k - n 2 x + l x 2 + m x 3 .