UFES. Álgebra Linear. Prova: P1 Manhã. 2017.2. Questão: 3.
Seja , definida por .
A) Determine a matriz canônica de .
B) é injetora?
C) é sobrejetora?
Passo 1
Iae, meus queridos! Tudo certinho?
Essa questão é muito interessante, para calcular a matriz canônica de , vamos aplicar os valores canônicos na transformação , mas você está lembrado o que são as bases canônicas?
A base canônica de um espaço vetorial ou de outras estruturas algébricas é a base mais primitiva e intuitiva para a estrutura. Na prática, é como se pegássemos um vetor genérico e substituir cada variável por , uma de cada vez. Como no nosso exemplo temos , está em , portanto a base canônica nesse caso é composta por três vetores e .
Substituindo a base canônica de em , temos:
Primeiro para
Agora para
Por fim, para
Calculando a transformação a partir de uma base canônica, encontramos
Ou seja, nossa matriz será
Passo 2
Para classificar nossa matriz, vamos escalonar os vetores resultantes da transformação da base canônica ou escalonar a matriz transposta de para saber a dimensão da imagem da transformação.
Está entendendo?
Vamos lá! Vai ficar mais claro.
A matriz transposta de é
Escalonando, vamos descobrir se é L.I. ou L.D.
A partir dessa matriz que calculamos, vemos que nenhuma linha zerou, ou seja, são linearmente independentes
Isso significa que os vetores
São base para o subespaço gerado pela transformação .
Passo 3
Finalmente para descobrir se é sobrejetora ou injetora, vamos analisar a dimensão da base que calculamos
Para ser sobrejetora, a dimensão da base deve ser igual a dimensão do conjunto de chegada, se isso não se confirmar, a transformação se classifica como injetora.
Se , a dimensão do conjunto de chegada da transformação é , o que é diferente da dimensão da transformação que calculamos como , logo, a transformação se classifica como injetora.
É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
A)
B) É injetora
C) Não é sobrejetora