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Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Dado v = x 0 y 0 z 0 ∈ M 3 × 1 fixo, a transformação T : M 3 × 3 ⟶ M 3 × 1 dada por T A = A v é linear. Existe algum v tal que T seja injetiva ?

Passo 1

Queremos saber se existe algum v para que T seja injetiva.

Bom, vamos ver se ela é injetiva primeiro. Pelo Teorema Núcleo-Imagem, podemos ver que:

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ M 3 × 3 ⇒

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = 9

Se ela for injetiva, dim ⁡ N u c T = 0 , e assim, a dim ⁡ I m T = 9 . Só que sabemos que I m T ⊆ M 3 × 1 e, portanto, a dim ⁡ I m T deve ser no máximo 3 (que e é a dimensão do contradomínio). Assim, não existe nenhum v que torne isso possível.

Resposta

Não.