Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

Ver Teoria
Exercício 39123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373840

Enunciado

A2 T13 T14

Considere a transformação linear T : P 2 → R 3 dada pela fórmula

T a + b t + c t 2 = a + b , c - b , 2 a

b Determine uma base para no Núcleo ker ⁡ T   o u   N T e uma base para a Imagem I m T da transformação.

c T é injetora?

Passo 1

b Vamos começão com o núcleo:

T a + b t + c t 2 = a + b , c - b , 2 a = 0,0 , 0

a + b = 0 c - b = 0 2 a = 0       I I I I I I

De I I I temos:

a = 0 ⇒ b = 0 ⇒ c = 0

Logo, uma base para o núcleo é:

0,0 , 0

Bom, se o núcleo tem dimensão 0 , pelo T N I a imagem tem dimensão 3 . Também sabemos que a imagem pertence ao R 3 , o contradomínio de T . Po o que é um espaço de dimensão 3 no R 3 ? É o R 3 inteiro!! Então uma base para a imagem é:

1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

Passo 2

c Como vimos no Passo 1 , o núcleo de T é 0 , logo, por definição, T é injetora.

Resposta

b Base para o Núcleo: 0 , 0,0

Base para a Imagem: 1 , 0,0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

c Sim.