Explique em cada caso porque não existe uma :
cujo núcleo seja a origem;
que seja injetiva;
com ;
com e
Passo 1
Pra resolvermos esse exercício temos que ter duas coisas em mente:
A primeira é o TNI:
A segunda é que o núcleo e a imagem têm suas dimensões restringidas pelo espaço em que estão contidos. Como assim?
Bom, o núcleo está contido no domínio, logo, sua dimensão será, no máximo, a do domínio.
A imagem, por sua vez, está contida no contra domínio, portanto, sua dimensão será, no máximo, a do contra domínio.
Dito isso, podemos começar.
Passo 2
Pelo enunciado temos que:
Logo,
Aplicando isso no TNI:
Opa, temos um problema ai! A imagem de está contida no que é o contra domínio. Dessa forma, sua dimensão deve ser no máximo e, portanto, tal transformação não pode existir!
Passo 3
Se é injetiva, então:
Logo, pelo TNI:
Novamente temos uma imagem de dimensão contida em um espaço de dimensão , o que não é possível!
Passo 4
Agora temos que Aplicando isso no TNI:
Bom, claramente isso é impossível né. Se você conseguir pensar em um espaço de dimensão me conta por favor haha. Última letra gora.
Passo 5
Nesse caso temos:
E também que:
A dimensão do núcleo claramente é . No entanto, repare que os vetores geradores da imagem são múltiplos um do outro! Logo, a dimensão da imagem é ! Substituindo isso no TNI:
Logo, chegamos à conclusão que tal não existe.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)