Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

Enunciado

(a) Sabemos que se

ou seja, se o único elemento do núcleo for o vetor nulo, então a transformação linear T é injetora.

Vamos calcular o núcleo de T então.

Para isso igualamos a transformação ao vetor nulo.

Vamos ficar com o sistema linear:

Da segunda equação, tiramos que:

Somando a primeira e a terceira equação:

Substituindo nessa última equação:

Logo:

Então os elementos do núcleo são os elementos do domínio da forma:

Então, o único elemento do núcleo vai ser o vetor:

Como o núcleo não é vazio, a transformação não é injetora.

(b) Vamos usar o Teorema do Núcleo-Imagem pra responder essa questão.

Lembrando: o teorema diz que se temos uma transformação

Então:

Nessa questão, nossa transformação é:

Portanto, o domínio é o e:

Na letra (a), calculamos o núcleo de T e vimos que:

Logo:

Substituindo essas duas informações no teorema:

O contradomínio da nossa transformação T é o e:

Como:

A transformação T é sobrejetora.

Porém, como ela não é injetora (vimos isso na letra (a)!), a transformação não é bijetora.

Já que T é sobrejetora, seu contradomínio é igual à imagem.

Logo, uma base para a imagem de T pode ser a base canônica do mesmo:

(a) T não é injetora

(b) T é sobrejetora, mas não é bijetora.