Teorema do Núcleo e da Imagem
Seja uma transformação linear de em .
Se , assinale a alternativa VERDADEIRA:
nunca será injetora
sempre será sobrejetora
sempre será bijetora
nunca será sobrejetora
Passo 1
Tá lembrado quando que uma é injetora ou sobrejetora?
A é injetora se seu núcleo for igual a , é sobrejetora se é igual à dimensão do contradomínio.
Primeiro passo: “será que ela é sobrejetora”?
Olha só, para isso teríamos que ter .
Aplicando no :
A questão diz que , então é um inteiro positivo, e nada o impede de ser a dimensão de . Então é possível sim que ela seja sobrejetora.
Mas isso não quer dizer que ela vai ser sempre sobrejetora, pois pode acontecer da dimensão do núcleo ser um valor diferente de .
Só nisso já dá pra descartar a e a .
Dá pra descartar a também, pois uma ser sempre bijetora significa que ela é sempre injetora e sempre sobrejetora, o que é mentira.
Mas vou analisar a só pra ter certeza! =D
Passo 2
Segundo passo: “será que ela é injetora?”
Bom, pra isso , e consequentemente .
Será que pode isso?
Aplicando o :
A conclusão que chegamos é que a imagem de tem dimensão .
Mas pô, a imagem não tá contida no contradomínio?
Então a dimensão dela precisa ser menor ou igual à do contradomínio:
Mas isso não é verdade, o enunciado mesmo disse que .
Então, de fato, ela nunca pode ser injetora.
Resposta
Letra