Foi perguntado a Vininho se a seguinte proposição é verdadeira:
Se uma transformação linear é injetiva, então ela é sobrejetiva.
E ele respondeu:
“Sim, pois pelo Teorema do Núcleo-Imagem:
E como é injetiva:
Portanto:
Assim, podemos ver que ela é sobrejetiva.”
Qual foi o erro de Vininho? E responda se a proposição é verdadeira ou falsa, e caso seja falsa adicione uma hipótese para que torne a proposição verdadeira.
Passo 1
O erro de Vininho foi não saber a definição de sobrejetividade.
De fato, pelo Teorema Núcleo-Imagem, temos que:
A definição de sobrejetividade é que E NÃO QUE .
Passo 2
Além disso, podemos concluir que a proposição é falsa. Para torná-la verdadeira deveríamos ter que, além da transformação ser injetiva, a dimensão do domínio da transformação deve ser igual à dimensão do contra domínio, . Ficaria assim:
Se , então a transformação é injetora, se e somente se, é sobrejetora.
Resposta
O erro de Vininho foi não saber a definição de sobrejetividade.