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Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa.

  1. Seja T : P 1 ( R ) → R 2 dada por T a + b x = a - b , a + b . Então T é linear.
  2. Seja T : V → W   uma transformação linear. Se dim ⁡ V > dim ⁡ W ,   então T não pode ser transformação injetora.
  3. Sejam V um espaço vetorial, α = v 1 , v 2 , v 3 e β = w 1 , w 2 , w 3 bases de V . Existe operador T : V → V linear que é isomorfismo tal que a matriz [ T ] β α = 1 1 1 - 1 0 - 1 0 1 0 .

Passo 1

Vamos analisar a primeira afirmativa,

Sejam v 1 = a 1 + b 1 x ∈ P 1   e v 2 =   a 2 +   b 2 x ∈ P 1

Para a transformação ser linear é preciso que:

T v 1 + v 2 = T v 1 + T ( v 2 )

T λ v = λ T v ,   ∀   λ ∈ R     e     ∀   v = a + b x   ∈   P 1

Passo 2

Então bora lá testar isso aí!

T v 1 + v 2 = T a 1 + b 1 x + a 2 + b 2 x = T a 1 + a 2 + b 1 + b 2 x

Aplicando a transformação:

T a 1 + a 2 + b 1 + b 2 x = ( a 1 + a 2 - b 1 - b 2   , a 1 + a 2 + b 1 + b 2   )

Podemos organizar os elementos e separar em dois vetores dessa forma:

T a 1 + a 2 + b 1 + b 2 x = a 1 - b 1   , a 1 + b 1 + ( a 2 - b 2   , a 2 + b 2 )

Assim fica fácil de ver que cada vetor é a transformação de cada polinômio da soma:

T a 1 + b 1 x ) + T ( a 2 + b 2 x = a 1 - b 1   , a 1 + b 1 + ( a 2 - b 2   , a 2 + b 2 )

Logo, como queríamos, T v 1 + v 2 = T v 1 + T ( v 2 ) .

Agora a outra propriedade!

T λ v = T λ a + b x = T ( λ a + λ b x )

Aplicando a transformação:

T λ a + λ b x = ( λ a - λ b ,   λ a + λ b )

Como as duas coordenadas do vetor estão sendo multiplicados por λ , podemos botá-lo em evidência:

T λ a + λ b x = λ ( a - b ,   a + b )

Opa! Isso não é igual a T λ v = λ T v ?? Sim!!

Então, como conseguimos provar as duas propriedades de uma TL, nossa afirmativa é verdadeira!

Passo 3

Agora para letra b vamos lembrar do Teorema do Núcleo-Imagem:

dim ⁡ V = dim ⁡ K e r ( T ) + dim ⁡ I m ( T )

Se dim ⁡ V > dim ⁡ W :

dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T > dim ⁡ W  

Se T for injetora, dim ⁡ K e r T = 0 , então, 0 + dim ⁡ I m T > dim ⁡ W   . O que é impossível não é mesmo? Isso porque a Imagem é um subconjunto do Contra-Domínio, logo sua dimensão deve ser sempre menor ou igual a de W !

Assim, a dimensão do núcleo não pode ser zero, ou seja, a TL não pode ser injetiva e dessa forma a afirmativa é verdadeira!

Passo 4

Para a letra c devemos saber que se T for um isomorfismo, a matriz [ T ] β α deve ser inversível. E como sabemos se uma matriz é inversível?? Calculando o determinante!! Se ele for diferente de zero a matriz possui uma inversa, ou seja, existe uma matriz T - 1 .

Sendo [ T ] β α = 1 1 1 - 1 0 - 1 0 1 0 , det ⁡ T β α = 0 + 0 - 1 + 1 + 0 = 0 .

Assim, a matriz não é inversível e, portanto, não é um isomorfismo, a afirmativa é falsa!

Passo 5

Podemos resolver a letra c de outra forma:

Sabemos que para ser um isomorfismo a matriz deve ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Observando as colunas, vemos que a primeira e a terceira são iguais, logo temos 1 vetor combinação linear fazendo com que a dim ⁡ I m T seja igual a 2. Enquanto a dim ⁡ V = 3 (contra-domínio) pois são vetores do R 3 .

Assim, dim ⁡ I m T ≠ dim ⁡ V faz com que a matriz não seja sobrejetora e consequentemente, nao seja um isomorfismo.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Verdadeira
  3. Falsa