Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justifique sua decisão.

1. Existe uma transformação linear tal que é autovetor associado ao autovalor , e .
2. Existe uma transformação linear injetora .
3. Se é uma base de , é uma base de , e são tais que

Então é invertível (Obs. ).

Para respondermos este item precisamos relembrar do Teorema do Núcleo e da Imagem. Este teorema nos diz que, dada uma transformação , então a dimensão do núcleo mais a dimensão da imagem é exatamente a dimensão de V. Isto é:

Para esta questão, o nosso espaço é , um espaço de dimensão 4. Portanto,

Para esta mesma transformação , a dimensão máxima da imagem é a dimensão de . Para esta questão, então, a dimensão máxima da imagem é . Portanto a nossa imagem chega, no máximo, a dimensão 3.

Desta forma, a dimensão do nosso núcleo, é, no mínimo:

Percebam que nós não sabemos qual a dimensão do núcleo. Só sabemos que ela é no mínimo igual a 1. Entretanto, esta informação já é suficiente para que nós digamos que a transformação linear não é injetora, pois, para que a mesma fosse injetora, a dimensão do núcleo deveria ser igual a 0!

Portanto, o enunciado é falso!