Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

Ver Teoria

Enunciado

a) As afirmações II e III são falsas.

b) As afirmações II e IV são falsas.

c) As afirmações I e III são falsas.

d) As afirmações I e IV são falsas.

e) Todas as afirmações são falsas.

r t = cos 2 ⁡ t , sen 2 ⁡ t , sen 2 ⁡ t

Passo 1

Vamos testar cada afirmativa.

Começando pela primeira:

O vetor ( 1 , 1,0 ) é perpendicular a qualquer vetor tangente à curva C .

Para isso ser verdade a gente precisa que o produto escalar entre esse vetor e o vetor tangente a curva seja nulo. Vamos ver.

O vetor tangente a curva é:

r ' t = - 2 cos ⁡ t sen ⁡ t , 2 sen ⁡ t cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

O produto escalar é:

1,1 , 0 ∙ - 2 cos ⁡ t sen ⁡ t , 2 sen ⁡ t cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t cos ⁡ t = - 2 cos ⁡ t sen ⁡ t + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t = 0

Opa, o produto escalar deu zero mesmo, então a afirmativa é verdadeira.

Próxima!

Passo 2

Agora temos que avaliar se o comprimento da curva é maior do que 2.

O comprimento de uma curva é dado por

L = ∫ t 1 t 2 r ' ( t ) d t

O vetor r ' ( t ) a gente já calculou no passo 1:

r ' t = - 2 cos ⁡ t sen ⁡ t , 2 sen ⁡ t cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

Seu módulo fica:

r ' ( t ) = - 2 cos ⁡ t sen ⁡ t 2 + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t 2 + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t 2

r ' ( t ) = 4 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t

r ' ( t ) = 12 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t

r ' ( t ) = 12 cos ⁡ t sen ⁡ t

Assim, o comprimento do arco fica:

L = ∫ 0 π / 2 12 cos ⁡ t sen ⁡ t d t

Passo 3

Vamos resolver essa integral ai.

Podemos começar tirando esse 12 da integral:

L = 12 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ t sen ⁡ t d t

Agora podemos fazer por simples substituição:

u = sen ⁡ t

d u = cos ⁡ t d t

E o intervalo de integração fica:

u = sen ⁡ 0 = 0

u = sen ⁡ π 2 = 1

Assim:

L = 12 ∫ 0 1 u d u = 12 u 2 2

L = 12 0 2 2 - 1 2 2

L = 12 2 ≈ 1,73 < 2

Assim, a afirmativa II é falsa.

Passo 4

Vamos para a terceira afirmativa:

A curva C está contida no cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Para isso acontecer a equação da curva tem que satisfazer a equação do cilindro. Vamos ver:

r t = cos 2 ⁡ t , sen 2 ⁡ t , sen 2 ⁡ t

A curva C é uma curva que tá no espaço (pois tem 3 coordenadas), tal que

x + y = 1

EEEEEEEE

y = z

Ou seja, a curva C não está contida no cilindro, pois não temos ela não atende a x 2 + y 2 = 1 , nem se a gente elevar os dois lados da primeira equação ao quadrado, pois:

x + y 2 = 1 2

x 2 + 2 x y + y 2 = 1 ≠ x 2 + y 2 = 1

Afirmativa falsa.

Passo 5

Ultima afirmativa, uhulis!

A curva C está contida na interseção dos planos x + y = 1 e y = z .

EITAAA, e não é que a gente já provou isso no passo 4 sem nem saber que íamos precisar de novo?!

Pois bem, nossa curva é uma curva tal que

x + y = 1

E

y = z

Assim, é uma curva contida na interseção (“E”) desses dois planos.

Verdadeiro!

Resposta

L e t r a   a