a) As afirmações II e III são falsas.
b) As afirmações II e IV são falsas.
c) As afirmações I e III são falsas.
d) As afirmações I e IV são falsas.
e) Todas as afirmações são falsas.
Passo 1
Vamos testar cada afirmativa.
Começando pela primeira:
O vetor é perpendicular a qualquer vetor tangente à curva .
Para isso ser verdade a gente precisa que o produto escalar entre esse vetor e o vetor tangente a curva seja nulo. Vamos ver.
O vetor tangente a curva é:
O produto escalar é:
Opa, o produto escalar deu zero mesmo, então a afirmativa é verdadeira.
Próxima!
Passo 2
Agora temos que avaliar se o comprimento da curva é maior do que 2.
O comprimento de uma curva é dado por
O vetor a gente já calculou no passo 1:
Seu módulo fica:
Assim, o comprimento do arco fica:
Passo 3
Vamos resolver essa integral ai.
Podemos começar tirando esse da integral:
Agora podemos fazer por simples substituição:
E o intervalo de integração fica:
Assim:
Assim, a afirmativa II é falsa.
Passo 4
Vamos para a terceira afirmativa:
A curva está contida no cilindro .
Para isso acontecer a equação da curva tem que satisfazer a equação do cilindro. Vamos ver:
A curva é uma curva que tá no espaço (pois tem 3 coordenadas), tal que
EEEEEEEE
Ou seja, a curva não está contida no cilindro, pois não temos ela não atende a , nem se a gente elevar os dois lados da primeira equação ao quadrado, pois:
Afirmativa falsa.
Passo 5
Ultima afirmativa, uhulis!
A curva está contida na interseção dos planos e .
EITAAA, e não é que a gente já provou isso no passo 4 sem nem saber que íamos precisar de novo?!
Pois bem, nossa curva é uma curva tal que
E
Assim, é uma curva contida na interseção (“E”) desses dois planos.
Verdadeiro!