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Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

A espiral logarítmica é a curva plana definida por γ t = ( e - t cos ⁡ t , e - t sen ⁡ t ) .

Mostre que o vetor posição γ ( t ) faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.

Passo 1

Para mostrar que o vetor posição γ ( t ) faz o mesmo ângulo com o vetor tangente γ ' ( t ) em qualquer ponto, então podemos dizer que:

γ t . γ ' t = γ ( t ) . γ ' t . cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre os vetores γ ( t ) e γ ' ( t ) .

Queremos provar que θ é constante para qualquer valor de t .

Logo, queremos provar que:

cos ⁡ θ = γ t . γ ' t γ ( t ) . γ ' t = c o n s t a n t e  

Para isso, devemos encontrar o vetor tangente γ ' ( t ) .

Passo 2

Calcular γ ' ( t ) :

γ ' t = ( - cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t , cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t )  

Passo 3

Calcular γ ( t ) :

γ ( t ) = e - t cos ⁡ t 2 + e - t sen ⁡ t 2 )  

γ ( t ) = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⏟ 1 e - 2 t  

γ ( t ) = e - t

Passo 4

Calcular γ ' ( t ) :

γ ' ( t ) = - sen ⁡ t - cos ⁡ t e - t 2 + - sen ⁡ t + cos ⁡ t e - t 2

γ ' ( t ) = - cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t 2 + cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t 2

γ ' ( t ) = - cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 e - 2 t + cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 e - 2 t

γ ' ( t ) = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⏟ 1 + 2 cos ⁡ t sen ⁡ t e - 2 t + cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⏟ 1 - 2 cos ⁡ t sen ⁡ t e - 2 t

γ ' ( t ) = 2 e - 2 t

γ ' ( t ) = 2 e - t

Passo 5

Calcular o produto escalar: γ t ⋅ γ ' ( t ) :

γ t ⋅ γ ' t = e - t cos ⁡ t . - cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t + e - t sen ⁡ t . ( cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t )

γ t ⋅ γ ' t = - e - 2 t ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⏟ 1 + sen ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t )

γ t ⋅ γ ' t = - e - 2 t

Passo 6

-

Substituir todos esses termos:

cos ⁡ θ = γ t . γ ' t γ t . γ ' t

cos ⁡ θ = - e - 2 t e - t . 2 e - t

⇒ cos ⁡ θ = - 1 2

Então cos ⁡ θ = c o n s t a n t e , conforme queríamos mostrar.

Logo: o vetor posição γ ( t ) faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)