Curvas Parametrizadas, Reta Tangente e Plano Normal, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente
Considere a curva parametrizada plana definida por .
- Encontre apenas um parâmetro que corresponda a um ponto do traço de (imagem) onde o vetor velocidade é paralelo à reta .
- Seja a curva parametrizada espacial cujo traço está contido no gráfico de e cuja projeção de no plano é .
- Exiba uma parametrização de .
- Encontre apenas um ponto do traço de em que a reta tangente é paralela ao plano .
Passo 1
a) Bom, essa parametrização tem coisa ao cubo, ao quadrado, então muito bom terem pedido apenas um parâmetro hehehe
Beleza, vamos lá. Primeiro, o que é o vetor velocidade? Se temos uma trajetória qualquer, no caso, a curva parametrizada que foi dada, então a velocidade é o vetor tangente em cada ponto da curva! E o que quer dizer que o vetor velocidade é paralelo a algum outro? Significa que são múltiplos! Com essas duas informações, já podemos resolver o problema :D
Desenvolvendo a primeira parte, que dizemos que o vetor é tangente à trajetória, basta encontrarmos a derivada da curva em função de seu parâmetro:
E pronto, temos a expressão para o vetor velocidade para a curva !
Passo 2
Agora temos que encontrar o vetor diretor da reta e dizer que ele é múltiplo do vetor velocidade:
Essa parametrização é fácil de ver. Só dizer que e têm sempre o mesmo valor, logo, a reta é formada por pontos . Um vetor diretor pode ser o .
Como e são múltiplos, então,
ou seja,
Passo 3
Precisamos resolver esse sistema e encontrar pelo menos um valor para , como foi pedido. Se somarmos as duas equações, teremos:
Colocando na primeira equação, teremos:
E pronto :D conseguimos dois valores para !!
Passo 4
- Bom, se a projeção de em é a própria , então quer dizer que as duas primeiras coordenadas, e de são exatamente iguais as de ! Ou seja,
Em que essa terceira coordenada (que tem a interrrogação) é a que vamos descobrir com a função que foi dada, .
Passo 5
E agora? Tudo o que temos que fazer é colocar a primeira coordenada de como sendo na função, e a segunda como sendo , e fica assim:
E pronto, temos a coordenada , a altura do ponto de . Colocando essa expressão no lugar da interrogação, teremos:
Passo 6
Show! Só falta um ítem! E esse é clássico :D Lembra o que é necessário para uma reta tangente ser paralela ao plano ? Bom, qualquer coisa que seja paralela ao plano , com certeza será perpendicular a qualquer coisa que seja perpendicular ao próprio plano. Então, podemos dizer que essa reta é perpendicular ao eixo ! Assim o produto escalar entre seu vetor diretor e o vetor diretor do eixo deve ser zero!
Agora partiu colocar essa teoria em prática! O vetor diretor da reta tangente da é o vetor derivada:
E o produto (escalar) entre esse vetor e o vetor diretor do eixo , , deve ser :
Fazendo o produto escalar:
E aí temos que a derivada em relação à coordenada deve ser :D
Passo 7
Agora vem a parte fácil! Só derivar a coordenada e igualar a :
E vemos, como aparece em todos os produtos, que se ele for , então !
Colocando na equação de , temos:
Resposta
a)
b) e o ponto: