Curvas Parametrizadas, Função Vetorial e Matriz Jacobiana
Uma partícula se move de acordo com a lei , para todo .
a) Determine, caso existam, as posições e velocidades da partícula nos instantes em que ela atravessa o plano .
b) Determine, caso existam, as posições nos instantes em que o vetor velocidade é paralelo aos eixos , e , respectivamente.
Passo 1
a) Para qualquer coisa cruzar o plano , temos que ter coordenada , certo?
No nosso caso, para a lei , isso acontece quando
Ou seja, para , temos a partícula passando pelo plano :D
Para esses valores teremos as posições:
Passo 2
Agora vejamos as velocidades para a partícula em cada um dos casos. Como o vetor velocidade é a derivada da trajetória, teremos:
Colocando agora , teremos:
Como esse vetor velocidade é não nulo, vemos que a partícula está realmente atravessando o plano!
Para o parâmetro , teremos:
novamente, vetor velocidade não nulo, partícula atravessando o plano :D
Passo 3
b) Como vimos, o vetor velocidade é . Para ele ser paralelo ao eixo , então ele deve ser múltiplo de , logo, teríamos:
Essa equação tem solução quando e . Quando , temos a posição:
Da mesma forma, para ser paralelo ao eixo , teríamos que ter:
Mas isso é impossível, pois não podemos ter pela igualdade das primeiras coordenadas! Logo, a velocidade nunca é paralela ao eixo .
Para ser paralela ao eixo , teríamos que ter:
Mesmo problema que o anterior... não podemos ter ! Assim, também nunca será paralelo ao eixo !
Resposta
a) Posições: e . Velocidades: e
b) Paralelo ao eixo em . Nunca será paralelo aos outros eixos!