Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

Seja a curva C parametrizada por

r t = 2 t , t 2 , t 3 ,   t ∈ R

O ponto na curva onde o vetor tangente é também um vetor normal ao plano

x + 2 y + 6 z = 0

É:

  1. ( 4,4 , 8 )
  2. ( 2,1 , 1 )
  3. ( 0,0 , 0 )
  4. ( 1,2 , 6 )
  5. ( 2,4 , 12 )

Passo 1

O vetor tangente a curva C   é o vetor

r ' t = ( 2,2 t , 3 t 2 )

O vetor normal ao plano é:

( 1,2 , 6 )

Esses dois vetores tem que ser paralelos.

Ou seja

r ' t = λ ( 1,2 , 6 )

( 2,2 t , 3 t 2 ) = λ ( 1,2 , 6 )

Passo 2

Ficamos então com o sistema:

2 = λ

2 t = 2 λ

3 t 2 = 6 λ

Da primeira equação já temos direto o valor de λ . Substituindo isso na segunda equação, já achamos também o valor de t , que é o que nos interessa:

2 t = 2 2 = 4

t = 4 2 = 2

Passo 3

Agora, para achar o ponto da curva, é só substituir t = 2 na parametrização da curva:

r t = 2 t , t 2 t 3

r 2 = 2.2 , 2 2 , 2 3

r 2 = 4,4   , 8

Resposta

L e t r a   a