Exercícios de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade - Lista de Exercícios Resolvida

Considere a hélice definida por . Mostre que a reta tangente, em cada ponto da hélice, faz um ângulo constante com o eixo , e que o cosseno dessa ângulo é .

A espiral logarítmica é a curva plana definida por .

Mostre que o vetor posição faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.

Encontre o ponto da curva parametrizada por , em que o vetor tangente é paralelo ao vetor .

a)

b)

c)

d)

e)

Considere a curva parametrizada plana definida por .

1. Encontre apenas um parâmetro que corresponda a um ponto do traço de (imagem) onde o vetor velocidade é paralelo à reta .
2. Seja a curva parametrizada espacial cujo traço está contido no gráfico de e cuja projeção de no plano é .

1. Exiba uma parametrização de .
2. Encontre apenas um ponto do traço de em que a reta tangente é paralela ao plano .

Uma partícula se move de acordo com a lei , para todo .

Determine, caso existam, as posições nos instantes em que o vetor velocidade é paralelo aos eixos , e , respectivamente.

Encontre o ponto da curva parametrizada por , em que o vetor tangente é paralelo ao vetor .

a)

b)

c)

d)

e)

Uma partícula se desloca no plano com vetor posição definido por , . Num dado instante ela se encontra num ponto de sua trajetória tal que sua velocidade faz um ângulo de 45° com os eixos coordenados. Encontre .

Considere a curva parametrizada pelas equações e , com . Em que ponto o vetor tangente a é horizontal?

a)

b)

c)

d) Nenhum ponto

e) Nenhuma das alternativas

Seja a curva parametrizada por

O ponto na curva onde o vetor tangente é também um vetor normal ao plano

É:

Considere a curva plana parametrizada

1. Determine todos os pontos da curva plana nos quais a reta tangente é horizontal ou vertical.
2. Determine se o traço da curva plana é simétrico com respeito ao eixo ou ao eixo
3. Encontre funções e tais que a união de seus gráficos seja o traço da curva plana dada.
4. Com o auxilio das informações obtidas nos itens , e , esboce o traço da curva plana, justificando corretamente o desenho da curva obtido. Identifique em seu desenho a orientação da curva, esboçando o vetor velocidade em três pontos distintos.

Considere a curva plana dada por

O ponto mais à esquerda da curva é…

Seja a curva no plano parametrizada por

E considere as seguintes afirmativas:

1. cruza o eixo em um único ponto do plano.
2. é tangente à reta em um único ponto do plano.
3. está contida no gráfico da função

Indique a alternativa correta:

1. Todas as afirmativas são verdadeiras
2. As afirmativas I e II são verdadeiras e a III é falsa
3. As afirmativas I e III são verdadeiras e a II é falsa
4. As afirmativas II e III são verdadeiras e a I é falsa
5. Todas as afirmativas são falsas

Considere a curva parametrizada plana definida por .

1. Encontre apenas um parâmetro que corresponda a um ponto do traço de (imagem) onde o vetor velocidade é paralelo à reta .
2. Seja a curva parametrizada espacial cujo traço está contido no gráfico de e cuja projeção de no plano é .

1. Exiba uma parametrização de .
2. Encontre apenas um ponto do traço de em que a reta tangente é paralela ao plano .

A espiral logarítmica é a curva plana definida por .

Mostre que o vetor posição faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.

Suponha que a função satisfaz para todo . Deste modo, podemos definir por:

Assuma que é derivável.

Mostre que

Suponha que a fun��ão satisfaz para todo . Deste modo, podemos definir por:

Assuma que é derivável.

Mostre que

Considere as retas parametrizadas por

Qual dos planos abaixo contém ambas as retas?

Considere a curva parametrizada por . O vetor tangente a no ponto é paralelo ao vetor . Encontre .

a) As afirmações II e III são falsas.

b) As afirmações II e IV são falsas.

c) As afirmações I e III são falsas.

d) As afirmações I e IV são falsas.

e) Todas as afirmações são falsas.

Seja um número real positivo. Considere uma função derivável

tal que r para todo . Prove que

Uma partícula se move de acordo com a lei , para todo .

a) Determine, caso existam, as posições e velocidades da partícula nos instantes em que ela atravessa o plano .

b) Determine, caso existam, as posições nos instantes em que o vetor velocidade é paralelo aos eixos , e , respectivamente.

A curva parametrizada por , intercepta ortogonalmente o plano . Qual o valore de ?

A equação do plano que passa pelo ponto e é perpendicular a reta é dada por:

Os vetores unitários que são paralelos à reta tangente à curva no ponto são:

As curvas e parametrizadas respectivamente por

Passam pelo ponto . O ângulo formado pelos vetores tangentes às curvas e no ponto é:

a)

b)

c)

d)

e)

Considere a curva plana dada por

O ponto mais alto da curva é…

Considere a curva plana dada por

Quais das curvas abaixo têm a mesma imagem que a curva ?

Considere a curva plana dada por

Qual o ponto da curva mais próximo da origem? E o mais distante?

Considere a curva plana dada por

O ponto mais baixo da curva é…