Considere a hélice definida por . Mostre que a reta tangente, em cada ponto da hélice, faz um ângulo constante com o eixo , e que o cosseno dessa ângulo é .

Beleza, agora quem são esses vetores diretores?

O da reta tangente a gente já sabe que é o vetor tangente . Agora, o do eixo nada mais é do que o vetor Faz sentido, né?

Tá, agora para mostrar que o vetor tangente faz o mesmo ângulo com o vetor em qualquer ponto, podemos dizer que:

Onde é o ângulo entre os vetores e .

Queremos provar que é constante para qualquer valor de e que

Então vamos lá:

Calcular o vetor tangente a hélice num ponto qualquer:

Calcular :

Calcular :

Calcular o produto escalar :

Substituir esses termos em

E verificar se a igualdade é verdadeira.

Assim, provamos o que foi pedido na questão.