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Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 2.10g

Considere a curva plana dada por

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) ,   s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) ,   t   ∈ [ 0,2 π ]

g . Qual o ponto da curva γ mais próximo da origem? E o mais distante?

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Essa questão é bastante direta, nos foi dada a seguinte curva

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) ,   t ∈ [ 0,2 π ] .

e, precisamos nesta alternativa determinar

g . Qual o ponto da curva γ mais próximo da origem? E o mais distante?

Para fazermos este cálculo é necessário determinar uma função distância da origem e achar o seu mínimo, e o seu máximo para o ponto mais distante! A distância pode ser calculada calculando o módulo de um vetor que parte da origem e vai até um ponto arbitrário da curva, felizmente, isso é simplesmente dado por

d → = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) - 0 , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) - 0 ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) )

Vamos então então obter os máximos e mínimos do módulo de d → ! Vem comigo!

Passo 2

O módulo pode ser obtido como

| | d → | | = [ s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) ] 2 + [ s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ] 2

vamos expandir os produtos e ver se isso simplifica um pouco, temos que

| | d → | | = s i n 2 ( t ) - 2 s i n 2 ( t ) c o s ( t ) + s i n 2 ( t ) c o s 2 ( t ) + s i n 4 ( t ) + 2 s i n 2 ( t ) c o s ( t ) + c o s 2 ( t )

podemos usar que s i n 2 ( t ) + c o s 2 ( t ) = 1 , e também simplificar o termo de 2 s i n 2 ( t ) c o s ( t ) para obter que

| | d → | | = 1 + s i n 2 ( t ) c o s 2 ( t ) + s i n 4 ( t )

se colocarmos em evidência um termo de s i n 2 ( t ) , podemos usar novamente que s i n 2 ( t ) + c o s 2 ( t ) = 1 e obter

| | d → | | = 1 + s i n 2 ( t )

Beleza! Essa vai ser a nossa função! Vamos achar seus máximos e mínimos agora! Lembra como fazer isso?

Passo 3

Para achar máximos e mínimos de uma função precisamos calcular os pontos críticos em que

d d t [ | | d → | | ] = 0

e depois usar a segunda derivada para garantir se são mínimos ou máximos! Calculando a primeira derivada temos que

d d t [ | | d → | | ] = s i n ( t ) c o s ( t ) 1 + s i n 2 ( t )

Essa relação é 0 para t = 0 , π / 2 , π , 3 π / 2 . Todos estes pontos podem ser pontos de distância máxima ou mínima! A segunda derivada é tal que

d 2 d t 2 [ | | d → | | ] = [ c o s 2 ( t ) - s i n 2 ( t ) ] 1 + s i n 2 ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) [ s i n ( t ) c o s ( t ) 1 + s i n 2 ( t ) ] 1 + s i n 2 ( t )

é uma expressão complicada mas vai servir para o que precisamos, note que devido os nossos pontos críticos zerarem o seno ou o cosseno, vai ser simples substituir valores! Vem comigo!

Passo 4

Em t = 0 temos que

d 2 d t 2 [ | | d → | | ] = [ 1 - 0 ] 1 + 0 - ( 0 ) ( 1 ) [ ( 0 ) ( 1 ) 1 + 0 ] 1 + 0 = 1

como temos que 1 > 0 este é um ponto de mínimo na distância, sendo assim, t = 0 é um dos pontos mais próximos da origem! Usando agora t = π / 2 temos que

d 2 d t 2 [ | | d → | | ] = [ 0 - 1 ] 1 + 1 - ( 1 ) ( 0 ) [ ( 1 ) ( 0 ) 1 + 1 ] 1 + 1 = - 2 2

como temos que - 2 / 2 < 0 , temos um ponto de máximo da distância, e t = π / 2 é um dos pontos mais distantes da curva! Agora, para t = π , temos

d 2 d t 2 [ | | d → | | ] = [ ( - 1 ) 2 - 0 ] 1 + 0 - ( 0 ) ( - 1 ) [ ( 0 ) ( - 1 ) 1 + 0 ] 1 + 0 = 1

novamente, um ponto de mínimo. Por último temos que t = 3 π / 2 em que

d 2 d t 2 [ | | d → | | ] = [ 0 - ( - 1 ) 2 ] 1 + ( - 1 ) 2 - ( - 1 ) ( 0 ) [ ( - 1 ) ( 0 ) 1 + ( - 1 ) 2 ] 1 + ( - 1 ) 2 = - 2 2

ou seja, outro ponto de maior distância! Vamos calcular os valores da curva agora!

Passo 5

Usando a definição da curva para os pontos de mínimo t = 0 e t = π , temos que

γ ( 0 ) = ( 0 - ( 0 ) ( 1 ) , 0 + 1 ) = ( 0,1 )

γ ( π ) = ( 0 - ( 0 ) ( - 1 ) ,   0 + ( - 1 ) ) = ( 0 , - 1 )

Agora, para os pontos de máximo, temos que

γ ( π / 2 ) = ( 1 - ( 1 ) ( 0 ) ,   1 + 0 ) = ( 1,1 )

γ ( 3 π / 2 ) = ( ( - 1 ) - ( - 1 ) ( 0 ) ,   ( - 1 ) 2 + 0 ) = ( - 1,1 )

Aí estão os pontos mais distantes e mais próximos da origem! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Os pontos mais próximos são

γ ( 0 ) = ( 0,1 ) e γ ( π ) = ( 0 , - 1 )

e, os mais distantes são

γ ( π / 2 ) = ( 1,1 ) e γ ( 3 π / 2 ) = ( - 1,1 )