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Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 2.10f

Considere a curva plana dada por

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) ,   s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) ,   t   ∈ [ 0,2 π ]

f . Quais das curvas abaixo têm a mesma imagem que a curva γ ?

I .   σ ( t ) = ( s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) , s i n ( t ) c o s ( t ) ) ,   t   ∈   [ 0,2 π ]

I I .   β ( t ) = ( s i n ( 2 t ) - s i n ( 2 t ) c o s ( 2 t ) , s i n 2 ( 2 t ) + c o s ( 2 t ) ) ,   t   ∈   [ - π / 2 , π / 2 ]

I I I .   ϕ ( t ) = ( c o s ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , c o s 2 ( t ) + s i n ( t ) ) ,   t   ∈   [ 0,2 π ]

I V .   ζ ( t ) = ( t - t 1 - t 2 , t 2 + 1 - t 2 ) ,   t   ∈   [ - 1,1 ]

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Essa questão é bastante direta, nos foi dada a seguinte curva

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) ,   t ∈ [ 0,2 π ] .

e, precisamos nesta alternativa determinar

f . Quais das curvas abaixo têm a mesma imagem que a curva γ ?

I .   σ ( t ) = ( s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) , s i n ( t ) c o s ( t ) ) ,   t   ∈   [ 0,2 π ]

I I .   β ( t ) = ( s i n ( 2 t ) - s i n ( 2 t ) c o s ( 2 t ) , s i n 2 ( 2 t ) + c o s ( 2 t ) ) ,   t   ∈   [ - π / 2 , π / 2 ]

I I I .   ϕ ( t ) = ( c o s ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , c o s 2 ( t ) + s i n ( t ) ) ,   t   ∈   [ 0,2 π ]

I V .   ζ ( t ) = ( t - t 1 - t 2 , t 2 + 1 - t 2 ) ,   t   ∈   [ - 1,1 ]

como temos que a imagem está diretamente relacionada ao gráfico da curva! Vamos plotar cada uma delas e comparar! O plot da nossa curva original é

Bora lá!

Passo 2

Temos que o plot da curva σ ( t ) é dada por

ela é bastante parecida, mas está rotacionada em relação a original! Então a imagem não é igual! Vamos plotar a próxima agora!

Passo 3

Para a função β ( t ) e ϕ ( t ) temos que

Portanto, temos a mesma imagem para as duas e iguais a imagem da curva γ ( t ) ! Vamos para a próxima!

Passo 4

A última curva, ζ ( t ) ,é tal que

Ou seja, é apenas um pedaço da imagem de γ ( t ) , não sendo exatamente igual! A questão foi isso! Te vejo na próxima!

Resposta

σ ( t ) é uma rotação em relação a γ ( t ) , β ( t ) e ϕ ( t ) tem a mesma imagem do que γ ( t ) e ζ ( t ) tem apenas parte da imagem de γ ( t ) .