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Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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Enunciado

UnB, Sem Campus, Cálculo 2, P1 - 2008.2, Questão 3b

Consideremos a curva y = 1 2 ∙ x x 2 - 1 - ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) para 1 ≤ x �� 4 .

b) Determinar a superfície S do sólido de rotação, girando-se a curva em torno do eixo O y .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a área da superfície S , que é obtida girando a curva y = 1 2 ∙ x x 2 - 1 - ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) , no intervalo de 0 a 4 , em torno do eixo y .

Pra calcular a área de uma superfície de rotação em torno do eixo y , nós usamos a fórmula:

S = ∫ a b 2 π x 1 + d y d x 2 d x

Onde 2 π x representa a circunferência do sólido obtido e d y d x é a derivada da função y em relação a x . Então, o que nós vamos fazer é calcular essa derivada e substituir na integral, junto com o intervalo [ 1 ,   4 ] , para obter o valor da área da superfície S .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a integral d y / d x de y = 1 2 ∙ x x 2 - 1 - ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) . Usando a regra do produto juntamente com a regra da Cadeia, temos:

d y d x = 1 2 2 x 2 - 1 x 2 - 1 - 1 x 2 + 1

Como os termos tem denominadores iguais, podemos somar as frações:

d y d x = 1 2 2 x 2 - 1 - 1 x 2 + 1 = 1 2 2 x 2 - 2 x 2 + 1

Colocando 2 em evidência:

d y d x = 1 2 2 ( x 2 - 1 ) x 2 + 1 = x 2 - 1 x 2 + 1

Multiplicando a fração por x 2 - 1 x 2 - 1 , temos:

d y d x = x 2 - 1 x 2 + 1 ∙ x 2 - 1 x 2 - 1

Assim:

d y d x = ( x 2 - 1 ) x 2 - 1 ( x 2 - 1 ) ( x 2 - 1 ) = ( x 2 - 1 ) x 2 - 1 x 2 - 1

Simplificando, temos:

d y d x = x 2 - 1

Passo 3

Agora vamos substituir esse resultado na equação da área da superfície:

S = ∫ a b 2 π x 1 + d y d x 2 d x

S = ∫ 1 4 2 π x 1 + x 2 - 1 2 d x

Elevando ao quadrado:

S = ∫ 1 4 2 π x 1 + x 2 - 1 d x

Colocando a constante do lado de fora e cortando a raiz, temos:

= 2 π ∫ 1 4 x x 2 d x

= 2 π ∫ 1 4 x ∙ x   d x = 2 π ∫ 1 4 x 2   d x

E caímos numa integral simples, onde basta usar a regrinha da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ):

S = 2 π ∙ x 2 + 1 2 + 1 1 4 = x 3 3 1 4

Aplicando os limites de integração:

S = 2 π 4 3 3 - 1 3 3

S = 2 π 64 3 - 1 3 = 126 3 π

E temos a superfície S do sólido de rotação:

S = 42 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = 42 π

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