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Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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Enunciado

UnB - Cálculo I - Listas - Lista 14- Questão 3c

Para uma função contínua f   :   [ a , b ]   →   ℝ o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do seu gráfico em torno do eixo O x é dado por V = ∫ a b π f ( x ) ² d x . Calcule esse volume no caso das funções indicadas abaixo.

c ) f ( x )   =   r ²   -   x ²   , para x   ∈   [ - r , r ] , onde r   >   0

Passo 1

Alô, é aqui que temos alunos aplicadíssimos e animados com essa questão??

Ebaa, é sim!! Vamos então…

Bom meus amores, essa questão nos informa que quando uma função é contínua em um dado intervalo significa que podemos obter o volume de um sólido de revolução que gira em torno do eixo x a partir da fórmula: V = ∫ a b π f ( x ) ² d x , onde a   e   b são nossos limites de integração. Eis que a questão deseja que informemos qual será o valor desse volume se r ²   -   x ² , onde x varia entre [ - r , r ] . Bora lá!

Passo 2

Bom a nossa função é f ( x )   =   r ²   -   x ²

Assim,

V = ∫ a b π f ( x ) ² d x   = ∫ a b π [   r ²   -   x ² ] ² d x  

Como anteriormente citamos o x varia entre [ - r , r ] , ou seja, isso quer dizer que a nossa função f ( x ) também variará nesse mesmo intervalo. Portanto, podemos afirmar que os limites de integração serão a   =   - r e b   =   r .

V   = ∫ - r r π [ r ²   -   x ²   ] ² d x   =   π ∫ - r r ( r ²   - x ² ) d x =   π ∫ - r r r ² d x   - ∫ - r r x ² d x  

Passo 3

Resolvendo as integrais temos que:

V   =     π ∫ - r r r ² d x   - ∫ - r r x ² d x =   π ( r ² x | - r r - x ³ 3 | - r r )  

Por fim, iremos colocar a cereja do bolo que é aplicar os limites de integração.

V   =   π ( r ² x | - r r - x ³ 3 | - r r )   =     π ( r ³ + r ³ - ( r ³ 3 + r ³ 3 ) )   = π ( 2 r ³ - 2 r ³ 3 )   =   π ( 6 r ³   -   2 r ³ 3 )   =   4 π r ³ 3      

Acabamos ou falta algo???

Relaxaaa, não colocamos constante de integração aqui, uma vez que minha integral é definida, dessa forma não falta mais nada na questão.

Bons Estudos e até mais! :)

Resposta

V =   4 π r ³ 3  

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