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Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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Enunciado

UNICAMP – Sem campus – Cálculo I – P3 – 2022.1 6º Diurno – 5b

Seja a região R limitada pelas curvas y = x 3 e y = x .

a) Esboce R e calcule sua área

b) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x.

Passo 1

Fala aí turminha, tudo bem? Vamos detonar essa questão! Agora indo pro item b), acharemos esse volume pelo método de revolução de sólidos. Lembrando que assim como no item passado, o volume total desse sólido é feito por 2 partes simétricas entre si. Portanto nosso volume total pode ser encontrado calculando apenas o volume de uma região e multiplicando por 2. Nossa integral fica na forma:

V T = 2 ⋅ V r = π ∫ a b f x 2   d x

Sendo que o nosso f ( x ) é a região delimitada pela integral da diferença das duas curvas (assim como a área). Logo, aplicando para nossa função, a integral a ser montada fica na forma:

V r = π ∫ 0 1 x 3 2 - x 2     d x

Agora é resolvermos e encontrarmos o volume!

Passo 2

Resolvendo nossa integral, temos que:

V r = π ∫ 0 1 x 3 2 - x 2     d x

π ∫ 0 1 x 3 2 - x 2     d x = π ∫ 0 1 x 2 / 3 - x 2   d x

= π x 2 / 3   + 1 2 3 + 1 - x 3 3 ​ | 0 1

= 4 π 15

Portanto,

V t = 2 ⋅ 4 π 15 = 8 π 15

E é isso galerinha! Sobrou alguma dúvida? Alguma dica de melhoria? Manda um feedback pra gente te ajudar. Bons estudos e até a próxima!

Resposta

8 π 15

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