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Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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Enunciado

UnB - Cálculo I - Listas - Lista 14- Questão 3b

Para uma função contínua f   :   [ a , b ]   →   R o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do seu gráfico em torno do eixo O x é dado por V = ∫ a b π f ( x ) ² d x . Calcule esse volume no caso das funções indicadas abaixo.

b )   f ( x )   =   r h x , para x   ∈   [ 0 , h ] , onde h ,   r   >   0

Passo 1

Essa questãozinha parece feia né, calma que o Responde aí te ajuda! haha

Bom pessoal, essa questão nos informa que quando uma função é contínua em um dado intervalo significa que podemos obter o volume de um sólido de revolução que gira em torno do eixo x a partir da fórmula: V = ∫ a b π f ( x ) ² d x , onde a   e   b são nossos limites de integração. Eis que a questão deseja que informemos qual será o valor desse volume se f ( x )   =     r h x , onde x varia entre [ 0 , h ] . Bora lá!

Passo 2

Bom a nossa função é f ( x )   =     r h x , perceba que nessa função existem duas constantes ( r   e   h ) Assim,

V = ∫ a b π f ( x ) ² d x   = ∫ a b π [     r h x ] ² d x  

Como anteriormente citamos o x varia entre [ 0 , h ] , ou seja, isso quer dizer que a nossa função f ( x ) também variará nesse mesmo intervalo. Portanto, podemos afirmar que os limites de integração serão a   =   0 e b   =   h .

V   = ∫ 0 h π [     r h x ] ² d x   =   π ∫ 0 h r ² h ² x ² d x  

Passo 3

Resolvendo a integral temos que:

V   =   π ∫ 0 h r ² h ² x ² d x   = π r ² h ² ∫ 0 h x ² d x   =   π r ² h ² ( x ³ 3 ) | 0 h      

Por fim, iremos colocar a cereja do bolo que é aplicar os limites de integração.

V   = π r ² h ² ( x ³ 3 ) | 0 h   = π r ² h ² ( h ³ 3   - 0 ³ 3 )   =   π r ² h 3  

Acabamos ou falta algo???

Relaxaaa, não colocamos constante de integração aqui, uma vez que minha integral é definida, dessa forma não falta mais nada na questão.

Bons Estudos e até mais! :)

Resposta

V =   π r ² h 3  

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