UNICAMP – Sem campus – Cálculo I – P3 – 2022.1 5º Vespertino – 5A
Seja R a região limitada pelas curvas e
a) Esboce R e calcule a sua área.
b) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x.
Passo 1
Fala aí turminha da UNICAMP, tudo bem? Vamos detonar essa questão! Começando pelo item a), vamos esboçar a curva . Nela, sabemos que é uma parábola, com raiz na origem e concavidade para cima (constante que acompanha o é positiva). A partir disso, a gente pode desenhar ela da seguinte forma:
Passo 2
Show, agora vamos pra segunda curva. Ela é descrita por . Pra gente poder esboçar essa curva, vamos olhar 2 parâmetros importantes dentro da função. Primeiro é a constante que soma com a variável quadrática. Ela nos diz que a curva toca o eixo no ponto 3. O segundo parâmetro é a constante negativa que multiplica a variável. Dessa forma, a concavidade é voltada para baixo. Saca só o desenho:
Passo 3
Prontinho. Agora vocês conseguem imaginar como ficaria com as duas funções juntas? Vou mostrar pra vocês:
E essa é justamente a região que a questão pede pra gente esboçar. Mas tá faltando uma coisa, precisamos achar os pontos em que as funções se encontram. Tudo bem que na imagem dá pra perceber que é e hahahahaha. Mas em um caso de prova, como você calcularia? Vou mostrar no próximo passo.
Passo 4
Pra gente achar os pontos onde elas se tocam, precisamos igualar as duas funções. Temos portanto:
Logo,
E são justamente esses os pontos onde elas se encontram.
Passo 5
Pra calcularmos a área, usaremos o método da integral da subtração das funções. Função que está em “cima” menos a função que está em “baixo”. Logo,
Resolvendo ela, temos que:
Logo a área da região R é 4.