Seja a região entre as curvas e
Determine o volume do sólido obtido pela rotação de ao redor do eixo
Passo 1
Show, vamos começar. A primeira coisa que vamos notar é que a curva é o próprio eixo . Perfeito, então considerarmos
O cálculo desse volume fica, usando o método dos discos:
Mas quais vão ser os limites de integração? Oras, vão ser exatamente os pontos em que as curvas e se encontram! Partiu achar então:
Ué, mas só tem um limite de integração? Não deveríamos ter dois? Pois é meus caros, quando isso acontece, talvez o outro limite seja o infinito. Quer ver uma coisa? Vamos ver se essa função possuí assíntota horizontal:
Por L’Hospital, temos que:
E não é que tem? Então quando , , mas quando tende a um número infinitamente grande e positivo, tende à . O volume vai ficar então:
Mas como limite de integração infinita não existe, reescrevemos esse volume como:
E pra gente terminar de modelar, substituímos e ficamos com:
Passo 2
Bem, sabemos agora a fórmula pra calcular esse volume. O jeito agora é por a mão na massa e calcular. Vamos primeiro, calcular a integral indefinida:
Pra começar, vamos lembrar do seguinte:
Ué, mas no que isso ajuda? Bem, quando a gente deriva , o logarítimo não some? Então se a gente fizer uma integração por partes, é bem capaz de pararmos em uma integral sem logarítimo. Partiu tentar. Seja:
A integração por partes:
Fica:
E olha só! Sumiu mesmo! Ganhamos, no entanto, outra integral pra nos preocuparmos:
Mas relaxa gafanhoto, que essa também não é lá um bicho de sete cabeças. Por frações parciais:
Chegamos à:
E reescrevemos a integral como:
E por fim, temos que:
Passo 3
Show de bola, agora que temos o resultado da integral indefinida, vamos aplicar os limites de integração:
Aplicando o limite:
Ok, esse é um limite bem grande, eu sei. Vamos dividir ele em três e ver cada um dos três então:
Passo 4
Beleza, vamos então meter a mão na massa e calcular esses três limites:
O último limite nem tem dentro né? Então como é um limite de uma constante:
O limite do meio, primeiro a gente substitui e vê no que dá:
Opa, esse tipo de limite sai por L’Hospital! Fazendo LH então:
E pra fechar, o primeiro limite, se substituirmos:
Eita, mais indeterminação. Essa ainda tem um tipo diferente! Mas saca só. Das propriedades de logaritmo, podemos reescrever esse limite como:
Como , podemos tirar tudo do módulo. Dividindo, depois disso, em cima e em baixo por :
Aplicando o limite:
E prontinho, os três limites foram calculados! A soma deles vai ficar:
E como o volume dado por:
Vamos ter: