Seja a região R limitada pelas curvas y = x 3 e y = x .

a) Esboce R e calcule sua área

b) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x.

Passo 1

Fala aí turminha, tudo bem? Vamos detonar essa questão! Começando pelo item a), vamos esboçar a curva y = x 3   . Pra esse tipo de função (radical de grau impar), temos esse formato:

E pra segunda curva descrita é bem tranquilo, y = x . Nela, desenhamos só uma reta na origem:

Passo 2

Passo 3

Prontinho. Agora vocês conseguem imaginar como ficaria com as duas funções juntas? Vou mostrar pra vocês:

E essa é justamente a região que a questão pede pra gente esboçar. Mas tá faltando uma coisa, precisamos achar os pontos em que as funções se encontram. Tudo bem que na imagem dá pra perceber que é - 1 e 1 hahahahaha. Mas em um caso de prova, como você calcularia? Vou mostrar no próximo passo.

Passo 4

Pra gente achar os pontos onde elas se tocam, precisamos igualar as duas funções. Temos portanto:

x = x 3

Resolvendo:

x 3 1 - x 2 3 = 0

Ou,

x = 1 ,     x = - 1

E são justamente esses os pontos onde elas se encontram.

Passo 5

Pra calcularmos a área, usaremos o método da integral da subtração das funções. Função que está em “cima” menos a função que está em “baixo”. Mas nossa função aqui tem dois momentos, um em que y = x está em cima, que seria essa área:

E somariamos com o caso em que a curva y = x 3 está em cima, que é essa área apontada pela seta:

Mas, pra facilitar a nossa vida também podemos partir da seguinte observação: Note que as duas áreas são simétricas entre si. Logo, se a gente calcular a área de uma, vai ser igual a área da outra. Portanto a nossa área total vai ser a área de uma das regiões, multiplicado por 2. Logo, calculando da segunda região, temos que:

A 2 = ∫ 0 1 ( x 3 - x )   d x

Resolvendo

A 2 = x 1 3 + 1 1 / 3   + 1 - x 2 2 ​ | 0 1 = 1 4  

Logo a área da região é:

A t = A 2 ⋅ 2 = 1 2

Resposta

1 2

Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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