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Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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Enunciado

Cálculo de Volumes através de Integrais

Ao rotacionarmos em torno do eixo x a região delimitada pela função f x = e - x ,   0 ≤ x ≤ α , obtemos um sólido conhecido por Trombeta de Gabriel. No entando, ao girarmos em torno do eixo y , obtemos um outro sólido conhecido como Vulcão de Descartes.

b Calcule o volume do Vulcão de Descartes, para α suficientemente grande, ou seja, α → ∞ .

Passo 1

b Nosso esboço é o mesmo da última questão para um α qualquer.

Rotacionando em torno do eixo y nós teríamos o seguinte, pelo método das cascas cilíndricas:

V = ∫ 0 α 2 π r x h x d x = ∫ 0 α 2 π x e - x d x

Vamos resolver essa integral para um α qualquer e depois fazemos ele tender a ∞ .

Passo 2

Vamos com a integral por partes. Pelo LIATE, a o u = x e o d v = e - x d x :

u = x → d u = d x

d v = e - x d x → v = - e - x

∫ 0 α 2 π x e - x d x = 2 π - x e - x + ∫ e - x d x [ α 0

= 2 π - x e - x - e - x [ α 0

= 2 π - α e - α - e - α - 2 π - 0 e 0 - e 0

2 π - α - 1 e α + 1 = 2 π - α - 1 + e α e α

Ok, agora calculamos o limite disso aí quando α vai a + ∞ .

Passo 3

lim α → ∞ ⁡ 2 π - α - 1 + e α e α

Substituindo esse limite aí a gente cai numa indeterminação - ∞ ∞ . Vamos de L’Hospital então:

lim α → ∞ ⁡ 2 π - α - 1 + e α e α → L ' H lim α → ∞ ⁡ 2 π - α - 1 + e α ' e α '

= lim α → ∞ ⁡ 2 π - 1 + e α e α = lim α → ∞ ⁡ 2 π - 1 e α + 1

= 2 π - 1 ∞ + 1 = 2 π

Esse é o volume que estávamos procurando!

Resposta

V = 2 π   u . v .

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