Seja R a região limitada pelas curvas y = 2 * x^2 + x e y = 3x

a) Esboce R e calcule a sua área.

b) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x.

Passo 1

Fala aí turminha da UNICAMP, tudo bem? Vamos detonar essa questão! Agora indo pro item b), temos que rotacionar o sólido dessa mesma área em torno do eixo x . Faremos isso a partir do método padrão de sólidos de revolução. Nossa integral fica na forma:

V r = π ∫ a b f x 2   d x

Sendo que o nosso f ( x ) é a região delimitada pela integral da diferença das duas curvas. Logo, aplicando para nossa função, a integral a ser montada fica na forma:

V r = π ∫ 0 1 ( 3 x 2 - 2 x 2 + x 2 ) d x

Agora é resolvermos e encontrarmos o volume!

Passo 2

Pra nossa função:

V r = π ∫ 0 1 ( 3 x 2 - 2 x 2 + x 2 ) d x

Ela fica na forma:

V r = π ∫ - 1 1 ( - x 4 - x 3 + 2 x 2 )   d x

Agora integrando, temos:

V r = 4 π - x 5 5 - x 4 4 + 2 x 3 3 ​ 0 1  

V r = 13 π 15

Portanto nosso volume é:

V r = 13 π 15   U . V

Resposta

V r = 13 π 15   U . V

Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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