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Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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Enunciado

UnB - Cálculo I - Listas - Lista 14- Questão 3a

Para uma função contínua f   :   [ a , b ]   →   R o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do seu gráfico em torno do eixo O x é dado por V = ∫ a b π f ( x ) ² d x . Calcule esse volume no caso das funções indicadas abaixo.

a )   f ( x )   =   r , para x   ∈   [ 0 , h ] , onde h , r   >   0

Passo 1

E aii, gente bonita! Talvez quando vocês leram essa questão, ficaram meio…

Maas, aqui juntos vamos deixar ela com uma carinha mais amigável. Bora??

Então bora!!

Bom pessoal, essa questão nos informa que quando uma função é contínua em um dado intervalo significa que podemos obter o volume de um sólido de revolução que gira em torno do eixo x a partir da fórmula: V = ∫ a b π f ( x ) ² d x , onde a   e   b são nossos limites de integração. Eis que a questão deseja que informemos qual será o valor desse volume se f ( x )   =   r , onde x varia entre [ 0 , h ] . Vamos fazer juntinhos!

Passo 2

Bom a nossa função é f ( x )   =   r , perceba que essa função é constante uma vez que não há presença da variável x . Assim,

V = ∫ a b π f ( x ) ² d x   = ∫ a b π [ r ] ² d x  

Como anteriormente citamos o x varia entre [ 0 , h ] , ou seja, isso quer dizer que a nossa função f ( x ) também variará nesse mesmo intervalo. Portanto, podemos afirmar que os limites de integração serão a   =   0 e b   =   h .

V   = ∫ 0 h π [ r ] ² d x   = π ∫ 0 h [ r ] ² d x    

Passo 3

Resolvendo a integral temos que:

V   = π ∫ 0 h [ r ] ² d x   =   π ( r ² x ) | 0 h    

Por fim, iremos colocar a cereja do bolo que é aplicar os limites de integração.

V   =   π ( r ² x ) | 0 h   =   π ( r ² h   -   r ² 0 )   =   π r ² h

Pronto?? Não tá faltando nada?

Opa opa, não colocamos constante de integração aqui, uma vez que minha integral é definida, dessa forma não falta mais nada na questão. Foi só pegadinha hahaha

Bons Estudos e até mais! :)

Resposta

V   = π r ² h  

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