- Seja a região do plano delimitada superiormente pelo gráfico de , à esquerda por e inferiormente pelo eixo . Seja o volume do sólido gerado pela rotação de em torno do eixo . Então:
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é finito para todo .
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não é finito para nenhum .
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é finito apenas para .
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é finito apenas para .
Passo 1
Bem, a primeira coisa aqui é desenhar a região ...
A curva de é uma curva semelhante a . Mas deslocada de unidades a esquerda em ...
A região está abaixo dessa curva até o eixo e delimitada também pela reta vertical ...
Passo 2
Quando giramos essa região ao redor do eixo determinamos um sólido só que esse sólido é infinito, saca? O problema quer saber justamente para quais intervalos de , o volume converge para algum valor, ou seja, exista volume finito. Para isso, vamos usar a expressão do cálculo do volume pelo método dos discos (pois estamos girando ao redor de :
Onde e são os limites do sólido em , ou seja, é onde começa, no , e onde “termina”, no infinito positivo nesse caso...
A função é justamente a curva que estamos girando, no caso a curva...
Passo 3
Calculando essa integral...
Essa integral é pela definição, é um limite...
A integral
Podemos calcular:
Substituindo os limites de integração...
Passo 4
Aplicando o limite no resultado da integral...
Ora, por propriedades de limites...
O primeiro limite é uma constante e quando vai ao infinito ele não se altera, portanto...
Já esse outro...
Logo...
Passo 5
Então o volume é
Veja que a integral é convergente e converge para o valor finito do volume para qualquer valor de , tirando , logo a resposta correta é...
- é finito para todo .
Resposta
- é finito para todo .