Um arame fino é entortado na forma da curva , para , onde a densidade linear é dada por . Determine:

1. A massa do arame;
2. O centro de massa do arame.

Pronto, agora que temos a curva parametrizada, vamos para o cálculo da massa do arame. Para isto, basta resolvermos a seguinte integral:

Derivando a curva obteremos:

Portanto, a norma desta derivada é:

Para podermos partir para a integração em si, só nos resta escrevermos a densidade do arame em relação a curva parametrizada. Portanto,

Portanto, a massa do arame é dada por:

E assim finalizamos a letra a).

Para o cálculo do centro de massa, vamos dividir em duas partes.

Primeiramente, vamos calcular a coordenada . Ela é expressa por:

Como já tivemos todo o trabalho de definir a curva, o elemento e a função densidade em relação a curva parametrizada, só nos resta fazermos aplicação direto da fórmula e assim resolvermos a nossa integral.

Portanto, temos:

Vamos resolver cada integral separadamente. Para a primeira integral, precisamos fazer uma mudança para . Logo, temos:

Já para a segunda integral, basta fazermos uma substituição de variáveis para resolver o problema. Portanto,

Portanto, a coordenada é dada por:

Vamos repetir tudo do Passo 3, só que para a coordenada . Ela é expressa por:

Portanto, temos:

Vamos resolver cada integral separadamente. Para a primeira integral, basta fazermos uma substituição de variáveis para resolver o problema. Portanto,

Já para a segunda integral, precisamos fazer uma mudança para . Logo, temos:

Portanto, a coordenada é dada por:

Portanto, o centro de massa do arame é .