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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 21

Calcule o momento de inércia do fio γ t = t , 2 t , 3 t , t ∈ 0,1 com densidade linear δ x , y , z = x + y + z em torno do eixo z .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o momento de inércia do fio γ t = t , 2 t , 3 t , t ∈ 0,1 com densidade linear δ x , y , z = x + y + z em torno do eixo z .

Para isso, sabemos que omomento de inércia é dado pela seguinte integral de linha:

I = ∫ r 2 d m γ

Onde

d m = δ x , y , z d s

Bom... vale mencionar que a integral de linha relativa ao comprimento de arco, função f X contínua, definida na imagem de γ , pode ser reescrita da seguinte forma:

I = ∫ f X d s γ = ∫ a b f γ t γ ' t d t

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Então... imagine que o nosso fio está no espaço x , y , z . Por Pitágoras, a distância de qualquer ponto do fio até o eixo z é dada por:

r 2 = x 2 + y 2

Do enunciado, podemos inferir que:

δ x , y , z = x + y + z

Assim, com os valores que nos foram fornecidos, temos:

r γ t 2 = 5 t 2

E

δ γ t = 6 t

Também não podemos esquecer daquele módulo da derivada:

γ ' t = t , 2 t , 3 t ' ∴

γ ' t = 1,2 , 3 ∴

γ ' t = 1 2 + 2 2 + 3 2 ∴

γ ' t = 14

Passo 3

Com esses resultados, podemos substituir na nossa integral de linha:

I = ∫ a b f γ t γ ' t d t ∴

I = ∫ 0 1 5 t 2 6 t 14 d t ∴

I = 30 14 ∫ 0 1 t 3 d t ∴

I = 30 14 t 4 4 1 0 ∴

I = 15 14 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

I = 15 14 2

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