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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

Determine a massa total e o centro de massa do arco da parábola C :   8 x 2 = y 3 que se situa entre as retas x = 0 e x = 1 , cuja densidade linear é dada pela função

ρ x ,   y = 1 18 y + 64

Passo 1

Bem, infelizmente a gente não tem uma visualização dessa curva no plano x y , mas sabemos que o centro de massa de um ponto é dado por...

C e n t r o   d e   M = x - ,   y -

Onde

x - = ∫ C   x ⋅ ρ x ,   y   d s M a s s a   d e   C                         e                               y - = ∫ C   y ⋅ ρ x ,   y   d s M a s s a   d e   C

Olha que maravilha, para calcula-las, precisamos da massa, o que já faríamos naturalmente pois o problema também nos pediu isso. Então bora calcula-la primeiro?

Passo 2

Massa de curva, a essa altura do campeonato é dada por:

M a s s a   d e   c u r v a = ∫ C   ρ x ,   y d s

Onde C é a curva que estamos trabalhando. A densidade dessa curva nos foi dito que é:

ρ x ,   y = 1 18 y + 64

Então...

M a s s a   d e   c u r v a = ∫ C   1 18 y + 64   d s

Mas como toda integral de linha, devemos seguir um passo a passo maroto:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando
  2. Trocar os termos da função
  3. Encontrar o termo d s

Passo 3

Sim, parametrizar a curva C . Bem, como a curva foi dada como sendo...

  8 x 2 = y 3

Se chamarmos x = t , então...

y = 8 x 2 3     →

y = 2 x 2 3   →

y = 2 t 2 3

Logo uma boa parametrização para a curva é...

γ t = t ,   2 t 2 3

Como x está entre a reta x = 0 e x = 1 , então...

0 ≤ t ≤ 1

Passo 4

Sendo assim, a nossa segunda função aqui é justamente mudar a função ρ x ,   y = 1 18 y + 64 para os termos dessa parametrização (basta trocar esse y aí)

ρ x ,   y = 1 18 y + 64           →

ρ x ,   y = 1 18 2 t 2 3 + 64     →

ρ x ,   y = 1 3 6 t 2 3 + 64

Passo 5

Devemos agora encontrar o termo d s fazendo

d s = γ ' ( t ) d t

Calculando essa derivada da parametrização   γ t = t ,   2 t 2 3 ...

γ ' t = 1 ,   2 ⋅ 2 3 t - 1 3 →

γ ' t = 1 ,   4 3 t 1 3

Extraindo o módulo desse vetor derivada

γ ' t = 1 2 + 4 3 t 1 3 2

γ ' t = 1 + 16 9 t 2 3   →

γ ' t = 1 + 16 9 t 2 3   →

γ ' t = 9 t 2 3 + 16 9 t 2 3   →

então:

d s = 1 + 16 9 t 2 3 d t

Passo 6

Retornando para a integral de linha que estamos trabalhando

∫ C   1 18 y + 64   d s

e substituindo tudo...

∫ 0 1 1 36 t 2 3 + 64   9 t 2 3 + 16 9 t 2 3 d t =

∫ 0 1 1 2 9 t 2 3 + 16 ⋅ 9 t 2 3 + 16 9 t 2 3 d t =

∫ 0 1 1 2 ⋅ 1 3 t 2 3 1 2 d t =

1 6 ∫ 0 1 1 t 1 3 d t = 1 6 ∫ 0 1 t - 1 3 d t =

1 6 3 2 t 2 3 0 1 =

1 6 3 2 = 1 4

Bem, então essa daí é a massa. Mas e quanto às coordenadas do centro de massa?

Passo 7

Começando pelo x do centro de massa...

x - = ∫ C   x ⋅ ρ x ,   y   d s M a s s a   d e   C

Veja que temos que calcular essa integral de linha í de cima, já que nós já temos a massa...

∫ C   x ⋅ ρ x ,   y   d s =

Bem, vamos usar o que já calculamos até agora, ou seja... Como no passo anterior vimos que

∫ C   1 18 y + 64   d s = ∫ C   ρ x ,   y   d s = ∫ 0 1 1 2 ⋅ 1 3 t 2 3 1 2 d t

Daí podemos tirar que...

ρ x ,   y   d s = 1 6 t 1 3 d t

Logo, no caso dessa outra integral de linha que devemos resolver, basta trocar o x = t ...

∫ C   x ⋅ ρ x ,   y   d s = ∫ C   t 1 6 t 1 3 d t =

∫ 0 1 t 1 6 t 1 3 d t =

1 6 ∫ 0 1 t 2 3 d t = 1 6 3 5 t 5 3 0 1 = 1 6 3 5 =

1 10

Portanto...

x - = ∫ C   x ⋅ ρ x ,   y   d s M a s s a   d e   C =

1 10 1 4 = 2 5

Passo 8

Para a coordenada y ...

  y - = ∫ C   y ⋅ ρ x ,   y   d s M a s s a   d e   C

Usaremos a mesma sagacidade...

∫ C   y ⋅ ρ x ,   y   d s = ∫ 0 1 2 t 2 3 ⋅ 1 6 t 1 3 d t =

1 3 ∫ 0 1 t 2 3 t 1 3 d t = 1 3 ∫ 0 1 t 1 3 d t =

1 3 3 4 t 4 3 0 1 = 1 3 3 4 =

1 4

Logo...

  y - = ∫ C   y ⋅ ρ x ,   y   d s M a s s a   d e   C =

1 4 1 4 = 1

O centro de massa, portanto, é...

x - ,   y - = 2 5 ,   1

Resposta

Massa:

1 4

Centro de Massa:

x - ,   y - = 2 5 ,   1

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