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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 3c

Determine a massa e o centro de massa de um arame cujo formato é o da curva

γ ( t ) = ( 2 c o s ( t ) ,   2 s i n ( t ) ,   3 t ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π

e a densidade de massa em cada ponto é δ ( x ,   y ,   z )   = k ;   k ∈ R .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular a massa e o centro de massa de um fio com formato

γ ( t ) = ( 2 c o s ( t ) ,   2 s i n ( t ) ,   3 t ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π

e densidade

δ ( x ,   y ,   z )   = k

Lembram como calculamos? Vamos revisar.

Suponha que queremos calcular o comprimento da curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Então, seu tamanho será dado por:

∫ γ d s   =   ∫ a b | γ ' ( t ) | d t

Logo, se a densidade de um fio é dada por

δ ( x ,   y ,   z )

sua massa será,

  ∫ a b δ ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t

E seu centro de massa é dado por:

  x ̄ = ∫ a b x δ ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t / m a s s a

  y ̄ = ∫ a b y δ ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t / m a s s a

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

γ ( t ) = ( 2 c o s ( t ) ,   2 s i n ( t ) ,   3 t ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Logo,

γ ' ( t ) = ( - 2 s i n ( t ) , 2 c o s ( t ) , 3 )

então

| γ ' ( t ) | = 13

Então, o comprimento do arame é

∫ 0   2 π 13 d t

= 2 π 13

Passo 3

A massa do arame é dada por

∫ 0 2 π k 13 d t

= 2 k π 13

Passo 4

Agora, vamos calcular o centro de massa.

Pela simetria da hélice no plano x y , e pelo fato da densidade ser homogênea igual a k . Já temos que as coordenadas x   e   y do centro de massa são x ̄ = 0 y ̄ = 0

Vamos calcular z ̄ . Pela definição, precisamos calcular

  z ̄ = ∫ a b z δ ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t / m a s s a

a massa do arame já temos. Vamos resolver a integral

∫ a b z δ ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t

no nosso caso ela é

∫ 0 2 π 3 t k 13 d t

integrando

= 6 k 13 π 2

Logo, como a massa do fio é de 2 π k 13 , então

z ̄ = 3 π

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

2 π k 13 , ( 0,0 , 3 π )  

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