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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

Um arame no plano tem o formato de um quarto de círculo, a saber a curva

C : x 2 + y 2 = r 2 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

Sabe-se que a densidade do arame no ponto x , y é ρ x , y = x + y . Se x C M e y C M são coordenadas do centro de massa do arame, então é correto dizer que o par x C M ,   y C M é igual a:

Escolha uma:

a) r 4 , r 4

b) π + 2 r 8 , π + 2 r 8

c)   π + 2 r 16 , π + 4 r 32

d) π - r 4 , π + r 4

e) π r 8 , 0

Passo 1

Pensa comigo: a gente um arame, ou seja, uma curva no espaço, e quer achar o centro de massa. Só lembrar de uma das aplicações para integral de linha!

Se liga na fórmulinha

x C M = ∫ C x   ρ x , y d s ∫ C ρ x , y d s ,     y C M = ∫ C y   ρ x , y d s ∫ C ρ x , y d s

Para lembrar dela, é só pensar que nos denominadores a gente vai calcular a massa do arame. Sendo ρ a densidade do arame.

E no numerador a gente usa uma integral parecida, mas multiplicamos o integrando pela componente que queremos calcular. Por exemplo, para x C M , a gente multiplica o integrando por x .

Aí a ideia é a gente montar e calcular essas integrais de linha escalar. Vem comigo!

Passo 2

Cara, primeira coisa a fazer para calcular a integral de linha é achar a parametrização de C .

C : x 2 + y 2 = r 2 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

Vemos que ela é uma circunferência de raio r   e centro x 0 , y 0 = ( 0,0 ) , temos que a parametrização vai ser

x t = x 0 + r cos ⁡ t ,     y t = y 0 + r   s e n   t

x t = r cos ⁡ t ,     y t = r   s e n   t

E como estamos só no primeiro quadrante, já que x ≥ 0 e y ≥ 0 . E t é o ângulo que sai no sentido horário de x . Temos:

0 ≤ t ≤ π 2

Passo 3

Com a parametrização prontinha, a gente já pode começar a fazer as peças das nossas integrais. Temos que:

d s = σ ' t   d t

Sendo que σ é a nossa parametrização:

σ t = r cos ⁡ t ,   r   s e n   t ,     0 ≤ t ≤ π 2

Aí derivando:

σ ' t = ( - r   s e n   t ,   r cos ⁡ t )

Calculando o módulo:

σ ' t = r 2   s e n 2 t + r 2 cos 2 ⁡ t = r 2 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = r 2 = r

Aí:

d s = r   d t

Passo 4

Agora a gente substitui nossa parametrização em cada integrando que a gente tem.

Começando por

∫ C ρ x , y d s = ∫ C x + y d s

E nossa parametrização é:

x t = r cos ⁡ t ,     y t = r   s e n   t

O integrando novo fica assim:

∫ C ρ x , y d s = ∫ C r cos ⁡ t + r   s e n   t d s

Aí até agora a nossa integral fica:

∫ C x + y d s = ∫ C ( r cos ⁡ t + r   s e n   t ) r   d t

Ih, quem vão ser os extremos de integração? Os limitantes da nossa parametrização!

∫ C x + y d s = ∫ 0 π 2 r 2 cos ⁡ t + s e n   t d t

Passo 5

As outras integrais ficam parecidas, a única diferença é que o integrando muda um pouco. Temos que

∫ C x + y d s = ∫ 0 π 2 r 2 cos ⁡ t + s e n   t d t

Aí a segunda integral fica:

∫ C x   ρ x , y d s = ∫ C x   x + y d s

A gente quer exatamente a integral anterior, mas com o integrando multiplicado por x , como x = r cos ⁡ t , essa integral fica

∫ C x   x + y d s = ∫ 0 π 2 r 3 cos ⁡ t cos ⁡ t + s e n   t d t

E a integra que falta fica

∫ C y   ρ x , y d s = ∫ C y   x + y d s = ∫ 0 π 2 r 3 s e n   t cos ⁡ t + s e n   t d t

Já que y = s e n   t . Belezinha, temos todas as integrais, agora é calcular!

Passo 6

∫ C ρ x , y d s = ∫ 0 π 2 r 2 cos ⁡ t + s e n   t d t = r 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ t + s e n   t d t

∫ C ρ x , y d s = r 2 s e n   t - cos ⁡ t 0 π 2 = r 2 1 - 0 - 0 - 1 = 2 r 2

Aí nossa componente x do centro de massa fica:

x C M = ∫ C x   ρ x , y d s ∫ C ρ x , y d s = ∫ 0 π 2 r 3 cos ⁡ t cos ⁡ t + s e n   t d t 2 r 2

x C M = r 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ t cos ⁡ t + s e n   t d t = r 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ t + cos ⁡ t s e n   t d t

x C M = r 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ t d t + r 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ t s e n   t d t

A segunda integral a gente resolve com a substituição simples u = s e n   t , a primeira integral a gente resolve lembrando da identidade trigonométrica

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

Com isso, achamos

x C M = r 4 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 t d t + r 4 = r 4 t + s e n 2 t 2 0 π 2 + r 4 = r 4 π 2 + r 4 = π r + 2 r 8

Passo 7

Aí nossa componente y do centro de massa fica:

y C M = ∫ C y   ρ x , y d s ∫ C ρ x , y d s = ∫ 0 π 2 r 3 s e n   t   cos ⁡ t + s e n   t d t 2 r 2

y C M = r 2 ∫ 0 π 2 s e n   t   cos ⁡ t + s e n   t d t = r 2 ∫ 0 π 2 s e n   t cos ⁡ t + s e n 2 t d t

y C M = r 2 ∫ 0 π 2 s e n   t cos ⁡ t d t + r 2 ∫ 0 π 2 s e n 2 t d t

A resolução é bem parecida com a integral anterior, a única diferença é que vamos usar a identidade

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

Aí nossa componente fica:

y C M = r 4 + r 4 π 2 = 2 r + π r 8

Nosso centro de massa fica:

x C M ,   y C M = 2 + π r 8 ,   2 + π r 8

Resposta

Letra b

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