16. Calcule a massa do fio γ(t) = (2t, -t, 5t) t ∈ [0, 1] ,cuja densidade linear é f(x, y, z) = x + y + z .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos calcular a massa do fio γ t = 2 t , - t , 5 t cuja densidade linear é dada por f x , y , z = x + y + z .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para obter a massa de um objeto, podemos utilizar o método de integração dado por

M = ∫ t 0 t 1 f γ t · γ ' t d t

Portanto temos que aplicar γ t à f x , y , z e obter o modulo da derivada de γ e substituir tudo isso em M .

Parece complicado? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos aplicar γ t em f para obter f γ t

f x , y , z = x + y + z γ t = 2 t , - t , 5 t → f γ t = 2 t - t + 5 t

f γ t = 6 t

Derivando γ t , temos

γ ' t = d 2 t d t , d - t d t , d 5 t d t

γ ' t = 2 , - 1 , 5

Calculando o modulo desse vetor...

γ ' t = 2 2 + - 1 2 + 5 2 = 30

Substituindo essas informações em M sabendo que t 0 = 0 e t 1 = 1 como foi dado no enunciado.

M = ∫ t 0 t 1 f γ t · γ ' t d t = ∫ 0 1 6 t · 30 d t

M = 30 ∫ 0 1 6 t d t

Calculando a integral...

∫ 6 t d t = 3 t 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 6 t d t = 3

Substituindo o resultado em M ...

M = 30 ∫ 0 1 6 t d t

M = 3 30

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

M = 3 30

Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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