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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 24

Determine a massa de um hemisfério sólido H de raio a se a densidade em qualquer ponto é proporcional a sua distância ao centro da base.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a massa de um hemisfério sólido H , que tem raio a e densidade proporcional a sua distância ao centro da base, em qualquer ponto. Pra isso, vamos tomar nosso hemisfério como sendo H = x ,   y ,   z |   x 2 + y 2 + z 2 ≤ a ,   z ≥ 0   .

Além disso, como sua densidade é proporcional a distância até a origem, ela será do tipo:

δ x ,   y ,   z = K x 2 + y 2 + z 2

Pra encontrar a massa, usando essa densidade, vamos integrar essa função em um volume d V :

m = ∭ H δ x ,   y ,   z d V

Mas pra facilitar nossa vida na hora de integrar, vamos usar as coordenadas esféricas, que são dadas pelas relações:

x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

J = ρ 2 sin ⁡ ϕ

Assim, vamos ter:

H = ρ ,   θ ,   ϕ 0 ≤ ρ ≤ a ,   0 ≤ ϕ ≤ π 2 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π }

δ ρ ,   θ ,   ϕ = K ρ

Então, vamos calcular a nossa integral, usando H nos limites de integração e δ no nosso integrando.

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral, vamos ter:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a K ρ ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ρ d θ d ϕ

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a K ρ 3 sin ⁡ ϕ   d ρ d θ d ϕ

Integrando primeiro em relação a ρ :

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π ρ 4 4 0 a K sin ⁡ ϕ d θ d ϕ

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π a 4 4 - 0 4 4 K sin ⁡ ϕ d θ d ϕ

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π a 4 K 4 sin ⁡ ϕ d θ d ϕ

Passo 3

Vamos colocar a constante do lado de fora da integral e integrar em relação a θ :

a 4 K 4 ∫ 0 π / 2 sin ⁡ ϕ ∫ 0 2 π d θ d ϕ

Integrando:

a 4 K 4 ∫ 0 π / 2 sin ⁡ ϕ θ 0 2 π d ϕ

Aplicando os limites de integração em θ :

a 4 K 4 ∫ 0 π / 2 sin ⁡ ϕ 2 π - 0   d ϕ

a 4 K π 2 ∫ 0 π / 2 sin ⁡ ϕ   d ϕ

Integrando em relação a ϕ :

a 4 K π 2 - cos ⁡ ϕ 0 π / 2

Agora aplicando os limites de integração em ϕ :

a 4 K π 2 - cos ⁡ π 2 + cos ⁡ 0

a 4 K π 2 - 0 + 1

= a 4 K π 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a 4 K π 2

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