- Calcule a primeira coordenada do centro de massa de um fio homogêneo que está ao longo de uma curva
Passo 1
Então, sabemos que a primeira coordenada do centro de massa de um fio é o . E para calcula-lo, usamos a essa linda fórmula aqui oh:
Onde é a curva que nos foi dada e é a função de densidade, que no caso é uma constante pelo fato do fio ser homogêneo:
Então, temos aqui dois problemas basicamente:
- Encontrar o resultado dessa primeira integral de linha .
- Encontrar a Massa dessa curva .
Bora? :D
Passo 2
Vamos começar aqui então com essa primeira tarefa de encontrar o resultado dessa primeira integral de linha aí!
Como qualquer resolução de integrais de linha a primeira coisa é parametrizar a curva, o que para a nossa alegria, já está feito pra gente :
Ou, em uma notação mais gentil:
Em seguida devemos substituir os termos da parametrização na função que estamos trabalhando dentro da integral de linha que no caso é . Como na parametrização , então:
Agora no caso só nos falta encontrar esse termo . Vem comigo!
Passo 3
Podemos encontrar o termo fazendo
derivando a curva portanto...
extraindo o módulo desse vetor derivada...
então
Passo 4
Substituindo tudo então nessa integral de linha que estamos resolvendo:
Agora é só resolver essa integral simples e ser feliz!
Bem, note que substituição não ia ajudar muito. Porém... é um trinômio de quadrado perfeito! O que significa que podemos escrever
Como é maior que ...
Passo 5
Bem, mas o nosso problema ainda não acabou! Devemos encontrar a massa do fio , e cara, massa? Então também é uma outra integral de linha:
Como a função de densidade é a constante, então:
Já temos encontrado esse e o basta substituir pelos limites da linha, então:
Passo 6
Show de bola, agora é só retornar a coordenada do centro de massa...
E substituir os dois resultados: