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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 4

Determine O momento de inércia do fio abaixo

γ ( t ) = ( 2 c o s ( t ) ,   2 s i n ( t ) ,   3 t ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π

e a densidade de massa em cada ponto é δ ( x ,   y ,   z )   =   k .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular o momento de inércia do fio

γ ( t ) = ( 2 c o s ( t ) ,   2 s i n ( t ) ,   3 t ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π

e densidade

δ ( x ,   y ,   z )   =   k

Lembram como calculamos? Vamos revisar.

Suponha que queremos calcular o momento de inércia da curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Então, seu tamanho será dado por:

∫ γ d s   =   ∫ a b | γ ' ( t ) | d t

Logo, se a densidade de um fio é dada por

δ ( x ,   y ,   z )

seu momento de inércia com respeito ao eixo x é

  ∫ a b ( y 2 + z 2 ) δ ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

γ ( t ) = ( 2 c o s ( t ) ,   2 s i n ( t ) ,   3 t ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Logo,

γ ' ( t ) = ( - 2 s i n ( t ) , 2 c o s ( t ) , 3 )

então

| γ ' ( t ) | = 13

Logo, temos que

I y = k ∫ 0 2 π ( 4 c o s 2 ( t ) + 9 ) 13 d t

= 18 π k 13 + 2 k 13 ( s i n ( t ) c o s ( t ) + t ) | t = 2 π t = 0

= 22 π k 13

Agora, vamos calcular I x

Passo 3

I x = k 13 ∫ 0 2 π ( 4 s i n 2 ( t ) + 9 ) d t

= k 13 ∫ 0 2 π ( 4 - 4 c o s 2 ( t ) + 9 ) d t

= k 13 ∫ 0 2 π ( 4 c o s 2 ( t ) + 13 ) d t

integrando

= 26 π k 13 - 4 k 13 π

E por último, temos que

I z = k 13 ∫ 0 2 π ( 4 s i n 2 ( t ) + 4 c o s 2 ( t ) ) d t

= k 13 ∫ 0 2 π 4 d t

= 8 π k 13

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a  

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