UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 20
Calcule o momento de inércia de um fio retilíneo, homogêneo, de comprimento L, em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o momento de inércia de um fio retilíneo, homogêneo, de comprimento , em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.
Para isso temos que o momento de inércia é dado pela seguinte integral de linha:
Onde é a distância de cada ponto até o eixo de referência perpendicular e é a densidade da curva. Mas como nosso fio é homogêneo, a densidade da nossa curva é uma constante , logo:
Dessa forma, temos que seguir 3 passos:
- Parametrizar a curva;
- Trocar os termos da função pelos termos parametrizados;
- Encontrar o termo .
Eaí? Bora lá resolver?
😉
Passo 2
Então... para parametrizar a curva, vamos desenhar o pedacinho de reta no plano cartesiano em cima do eixo :
Como esse fio está em cima do eixo , então . Assim, a parametrização fica:
Assim, arrumando a parametrização, temos:
Detalhe: veja que o fio varia de até . Portanto:
Se colocarmos o eixo como referência, então podemos inferir que:
Logo, .
Passo 3
Podemos encontrar da seguinte forma:
Onde:
Logo, aplicando o módulo, temos:
Assim, descobrimos que
Passo 4
Com esses resultados, podemos substituir na nossa integral de linha:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
