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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

Integrais de linha – Caso Escalar

Seja dado um arame semicircular homogêneo de raio 4   c m .

  1. Mostre que o centro de massa está situado no eixo de simetria a uma distância de 8 π   c m do centro
  2. Mostre que o momento de inércia em relação ao diâmetro que passa pelos extremos do arame é 8 M , sendo M a massa do arame.

Passo 1

a )

Vamos começar entendendo como é esse arame que ele deu, repara que temos um arame semicircular homogêneo. Isso nos diz duas coisas, uma que temos um semicírculo de raio 4 e outra que a densidade é constante. Como é a equação do círculo?

x 2 + y 2 = 4 2

Coloquei o caso mais básico, com a circunferência centrada na origem, mas como queremos uma semicircunferência vamos fazer y ≥ 0 , e a equação vai ficar

x 2 + y 2 = 4 2

y ≥ 0

Passo 2

Ele quer o centro de massa, primeiro antes de qualquer coisa temos que achar a massa desse arame.

A massa vai ser a integral de linha da função densidade, isso porque

d M = ρ d s

M = ∫ C ρ d s

A integral de linha é escalar, então precisamos achar uma parametrização para aplicar na fórmula

M = ∫ a b ρ x t ,   y t , z t .   | σ → ' |   d t

Essa função ρ vai ser

ρ x , y , z = ρ

Passo 3

A curva que queremos parametrizar é

x 2 + y 2 = 16

Como já vimos, isso é uma circunferência, então

x t = 4 cos ⁡ t

y t = 4 sen ⁡ t

Como colocamos y ≥ 0 vamos ter

4 sen ⁡ t ≥ 1

sen ⁡ t ≥ 0

Isso faz com que

t ∈ 0 , π

A parametrização vai ser

σ t → = 4 cos ⁡ t , 4 sen ⁡ t

Onde t ∈ 0 , π

Passo 4

Vamos calcular σ t → '

σ t → ' = - 4 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t

Passo 5

Vamos calcular σ t → '

σ t → ' = - 4 sen ⁡ t 2 + 4 cos ⁡ t 2 = 16 sen 2 ⁡ t + 16 cos 2 ⁡ t

⇒ 16 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 16 = 4

Passo 6

Substituindo na integral

∫ a b ρ x t ,   y t .   | σ → ' |   d t = ∫ a b ρ .   | σ → ' |   d t

∫ 0 π ρ . 4 d t = 4 ρ ∫ 0 π d t = 4 ρ t t = 0 π = 4 ρ π - 0 = 4 π ρ

Passo 7

Agora para acharmos o centro de massa temos que fazer

x C M = ∫ C x ρ x , y , z d S M

E

y C M = ∫ C y ρ x , y , z d S M

Vamos começar com x , a parametrização já vimos como fica, o que muda é a função dentro da integral, então vamos a essa integral

∫ C x ρ x , y , z d S = ∫ a b ρ x t .   σ → ' d t

⇒ ∫ 0 π ρ . 4 cos ⁡ t 4 d t = 16 ρ ∫ 0 π cos ⁡ t d t = 16 ρ sen ⁡ t t = 0 π

⇒ 16 ρ sen ⁡ π - sen ⁡ 0 = 16 ρ 0 - 0 = 0

Então

x C M = 0

Passo 8

Vamos agora para o y C M , para isso temos que resolver aquela integral da fórmula

∫ C y ρ x , y , z d S = ∫ a b ρ y t .   σ → ' d t

⇒ ∫ 0 π ρ . 4 sen ⁡ t 4 d t = 16 ρ ∫ 0 π sen ⁡ t d t = 16 ρ - cos ⁡ t t = 0 π

⇒ 16 ρ - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 = 16 ρ - - 1 - - 1 =

⇒ 16 ρ 1 + 1 = 32 ρ

Então

y C M = 32 ρ M

A massa já calculamos

y C M = 32 ρ 4 π ρ = 8 π

Assim o centro de massa vai ser

C M = 0 , 8 π

Passo 9

b )

Para o momento de inércia, nesse caso em duas dimensões pegando o momento de inércia em relação ao eixo x , vamos ter

I = ∫ C y 2 ρ x , y , z d S

A parametrização já vimos como fica, o que muda é a função dentro da integral, ela vai ficar

∫ C y 2 ρ x , y , z d S = ∫ a b ρ y t 2 .   σ → ' d t

⇒ ∫ 0 π ρ . 4 sen ⁡ t 2 4 d t = 4 ρ ∫ 0 π 16 sen 2 ⁡ t d t

⇒ 64 ρ ∫ 0 π sen 2 ⁡ t d t

Lembrando que sen 2 ⁡ t = 1 - cos ⁡ 2 t 2 , continuando na integral

⇒ 64 ρ ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 t 2 d t = 64 ρ t - sen ⁡ 2 t 2 2 t = 0 π

⇒ 64 ρ π - sen ⁡ 2 ∙ π 2 2 - 0 - sen ⁡ 2 ∙ 0 2 2 = 64 ρ π - 0 2 - 0

⇒ 64 ρ π 2 = 32 ρ π

Como a massa vai ser

M = 4 ρ π

Temos

I = 8 M

Resposta

  1. C M = 0 , 8 π

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