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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 17

17. Calcule a massa do fio γ t = t , t t ∈ - 1,1 , cuja densidade linear é δ x , y = x 2 + y 2 .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos calcular a massa do fio γ t = t , t cuja densidade linear é dada por δ x , y = x 2 + y 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para obter a massa de um objeto, podemos utilizar o método de integração dado por

M = ∫ t 0 t 1 δ γ t · γ ' t d t

Portanto temos que aplicar γ t à δ x , y e obter o modulo da derivada de γ e substituir tudo isso em M .

Parece complicado? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos aplicar γ t em f para obter γ t

δ x , y = x 2 + y 2 γ t = t , t → δ γ t = t 2 + t 2

δ γ t = 2 t 2

Derivando γ t , temos

γ ' t = d t d t , d t d t

γ ' t = 1 , 1

Calculando o modulo desse vetor...

γ ' t = 1 2 + 1 2 = 2

Substituindo essas informações em M sabendo que t 0 = - 1 e t 1 = 1 como foi dado no enunciado.

M = ∫ t 0 t 1 δ γ t · γ ' t d t = ∫ - 1 1 2 t 2 · 2 d t

M = 2 ∫ - 1 1 2 t 2 d t

Calculando a integral...

∫ 2 t 2 d t = 2 t 3 3

Aplicando os limites de integração

∫ - 1 1 2 t 2 d t = 2 1 3 3 - 2 - 1 3 3 = 4 3

Substituindo o resultado em M ...

M = 2 ∫ - 1 1 2 t 2 d t

M = 4 3 2

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

M = 4 3 2

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