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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 34

Uma lâmina plana com densidade constante ρ x , y = ρ ocupa uma região do plano x y limitada por um caminho fechado simples C. Os momentos de inércia em relação aos eixos são:

(a)     I x = ρ 3 ∮ C y 2 d x                 I y = - ρ 3 ∮ C x 2 d y

(b)     I x = ρ 3 ∮ C y 2 x d x                 I y = ρ 3 ∮ C x 2 y d y

(c)       I x = - ρ 3 ∮ C y 3 d x                 I y = - ρ 3 ∮ C x 2 y d y

(d)       I x = ρ 3 ∮ C y 2 x d x                 I y = ρ 3 ∮ C x 2 y d y

(e)       I x = - ρ 3 ∮ C y 3 d x                 I y = ρ 3 ∮ C x 3 d y

Passo 1

Vamos analisar cada uma das opções para determinar qual é a correta.

A fórmula geral para o momento de inércia em relação a um eixo é:

  I   = ∫ r 2 d m

onde r   é a distância de um elemento de massa d m ao eixo de rotação.

Neste caso, a densidade é constante ρ e a região é limitada por um caminho fechado simples C no plano x y  

Vamos começar analisando a opção (a):

I x = ρ 3 ∮ C y 2 d x                 I y = - ρ 3 ∮ C x 2 d y

Aqui, podemos ver que os sinais estão invertidos em relação ao momento de inércia padrão.

Além disso, a relação entre I x e   I y não está correta.

Passo 2

Vamos para a opção (b):

I x = ρ 3 ∮ C y 2 x d x                 I y = ρ 3 ∮ C x 2 y d y

Aqui, os momentos de inércia têm a mesma relação que os momentos de inércia padrão.

No entanto, a distribuição y 2 x em I x e x 2 y em I y parece um pouco estranha.

Passo 3

Vamos para a opção (c):

      I x = - ρ 3 ∮ C y 3 d x                 I y = - ρ 3 ∮ C x 2 y d y

Neste caso, os sinais estão invertidos, o que não é comum nos momentos de inércia.

Além disso, a relação entre I x   e I y não é a mesma que nos momentos de inércia padrão.

Passo 4

Vamos para a opção (d):

I x = ρ 3 ∮ C y 2 x d x                 I y = ρ 3 ∮ C x 2 y d y

Esta é a mesma opção que analisamos anteriormente, e os momentos de inércia mantêm a relação correta entre si.

Portanto, esta é uma possível candidata.

Passo 5

Finalmente, a opção (e):

I x = - ρ 3 ∮ C y 3 d x                 I y = ρ 3 ∮ C x 3 d y

Os sinais estão novamente invertidos nos momentos de inércia.

Além disso, a relação entre I x e I y não é a mesma que nos momentos de inércia padrão.

Passo 6

Analisando as opções, parece que a opção correta é a (d):

I x = ρ 3 ∮ C y 2 x d x                 I y = ρ 3 ∮ C x 2 y d y

Resposta

D

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