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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

Encontre a massa e o centro de massa de um fio com densidade constante δ que está ao longo da hélice r t = 2 sen ⁡ t i + ( 2 cos ⁡ t ) j + 3 t k , 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Como ele quer o centro de massa, devemos fazer

M = ∫ c δ x , y , z d s

x - = ∫ C x δ x , y , z d s M

y - =   ∫ C y δ x , y , z d s M

z - = ∫ C z δ x , y , z d s M

Onde δ x , y , z = δ

Passo 2

Agora precisamos achar σ → ' t . As derivadas são

d x d t = 2 cos ⁡ t ,   d y d t = - 2 sen ⁡ t ,   d z d t = 3

Então pela fórmula:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 = 2 cos ⁡ t 2 + - 2 sen ⁡ t 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13

Um valor meio feio, mas constante, então tá bom, né? haha

Passo 3

A massa, então, vai ser dada por:

M = ∫ 0 2 π δ   .   13   d t =   13 δ   t 0 2 π = 13 δ 2 π - 0 = 2 π 13 δ

Podia ser pior, eu acho...

Mas, não acaba aqui, pois ele pede a centro de massa também, então vamos pro próximo passo.

Passo 4

Vamos começar com a coordenada em x :

∫ C x δ x , y , z d s =   ∫ 0 2 π x t δ x , y , z σ → ' t d t

A gente já viu como fica parametrização do x , que é 2 sen ⁡ t ; a densidade é constante e vale δ . Vimos também que o módulo do vetor tangente σ → ' t é igual a 13 . Então, é só substituir e partir pro abraço:

∫ 0 2 π x t δ x , y , z σ → ' t d t = ∫ 0 2 π 2 sen ⁡ ( t ) δ   13   d t = 2 13 δ ( - cos ⁡ t ) 0 2 π = 0

Agora sim, bem simples! A nossa cordenada em x fica   x - = 0 M = 0 .

Vamos torcer pra que as outras sejam algo simples assim também.

Passo 5

A integral da coordenada em y :

∫ C y δ x , y , z d s =   ∫ 0 2 π y t δ x , y , z σ → ' t d t

Como no passo anterior, vamos substituir os valores: a parametrização de y , ( 2 cos ⁡ t ) ; a densidade constante δ ; e o módulo do vetor tangente, 13 .

∫ 0 2 π y t δ x , y , z σ → ' t d t = ∫ 0 2 π 2 cos ⁡ t δ   13   d t = 2 13 δ ( sen ⁡ t ) 0 2 π = 0

Então, nossa cordenada em y fica   y - = 0 M = 0 também.

Oh, to falando que tá ficando parecido! Mas não vamos arriscar e vamos calcular a próxima que vai que questão tem que ter uma pegadinha, né?

Passo 6

Por último, vamos calcular a integral da coordenada em z :

∫ C z δ x , y , z d s =   ∫ 0 2 π z t δ x , y , z σ → ' t d t

Vamos pegar os valores de novo pra substituir, mas fica ligado que a parametrização do z é um pouco diferente, ( 3 t ) ; o valor da densidade continua o mesmo, δ ; e o módulo do vetor tangente também, 13 , nenhuma surpresa. Então:

∫ 0 2 π z t δ x , y , z σ → ' t d t = ∫ 0 2 π 3 t δ   13   d t = 3 13 δ   t 2 2 0 2 π = 6 π 2 13 δ

É, nada muito simpático, mas vamos lembrar a fórmula de   z - :

∫ C z δ x , y , z d s M = 6 π 2 13 δ 2 π 13 δ = 3 π

Agora sim, um valor mais agradável!

Bem, foram muitas integrais, mas seguindo o passo-a-passo deu pra organizar tudo e não se perder, pra conseguirmos chegar na resposta.

Resposta

M =   2 π 13 δ

x - = 0   ;   y - = 0   ; z - = 3 π

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