Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da hélice x = t, y = cos t, z = sen t, 0 ≤ t ≤ 2π, se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distância do ponto `a origem.

Passo 1

Olá amigo, para calcular a massa iremos usar a formular

m   = ∫ C ρ x , y , z d s

ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Com as parametrizações

= cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t + t 2

= t 2 + 1

Passo 2

d s = x ' 2 + y ' 2 + z ' 2

= 1 + - sin ⁡ t 2 + cos 2 ⁡ t d t

= 2 d t

Então a integral fica:

m = ∫ 0 2 p i 2 t 2 + 1 d t

= 2 t 3 3 + t 0 2 π

= 2 8 π 3 3 + 2 π

Passo 3

Para calcularmos o centro de massa, usamos a formula:

x C M = 1 m ∫ C x ρ d s

= 1 m ∫ 0 2 π 2 t 2 + 1 t d t

= 2 m t 4 4 + t 2 2 0 2 π

= 2 m 4 π 4 + 2 π 2

= 2 2 8 π 3 3 + 2 π 4 π 4 + 2 π 2

= 6 π 3 + 3 π 4 π 2 + 3

y C M = 1 m ∫ C   y ρ x , y , z d s = 1 m ∫ 0 2 π   2 t 2 + 1 cos ⁡ t d t = 1 m ∫ 0 2 π   2 t 2 cos ⁡ t + cos ⁡ t d t

= 2 m t 2 sen ⁡ t - 2 sen ⁡ t + 2 t cos ⁡ t + sen ⁡ t 0 2 π = 2 m 4 π = 4 2 π 2 8 π 3 3 + 2 π = 6 4 π 2 + 3

z C M = 1 m ∫ C   z ρ x , y , z d s = 1 m ∫ 0 2 π   2 t 2 + 1 sen ⁡ t d t = 1 m ∫ 0 2 π   2 t 2 sen ⁡ t + sen ⁡ t d t

= 2 m - t 2 c o s ⁡ t + 2 c o s ⁡ t + 2 t s e n ⁡ t - c o s ⁡ t 0 2 π = 2 m - 4 π 2 + 2 + 0 + 0 - 2 - 0 = - 4 π 2 2 2 8 π 3 3 + 2 π = - 6 π 4 π 2 + 3

Resposta

m = 2 8 π 3 3 + 2 π 6 π 3 + 3 π 4 π 2 + 3 , 6 4 π 2 + 3 , - 6 π 4 π 2 + 3

Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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