Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

Ver Teoria
Exercício 41235678910111213141516171819202122232425

Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 3

Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da hélice x = t, y = cos t, z = sen t, 0 ≤ t ≤ 2π, se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distância do ponto `a origem.

Passo 1

Olá amigo, para calcular a massa iremos usar a formular

m   = ∫ C ρ x , y , z d s

ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Com as parametrizações

= cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t + t 2

= t 2 + 1

Passo 2

d s = x ' 2 + y ' 2 + z ' 2

= 1 + - sin ⁡ t 2 + cos 2 ⁡ t d t

= 2 d t

Então a integral fica:

m = ∫ 0 2 p i 2 t 2 + 1 d t

= 2 t 3 3 + t 0 2 π

= 2 8 π 3 3 + 2 π

Passo 3

Para calcularmos o centro de massa, usamos a formula:

x C M = 1 m ∫ C x ρ d s

= 1 m ∫ 0 2 π 2 t 2 + 1 t d t

= 2 m t 4 4 + t 2 2 0 2 π

= 2 m 4 π 4 + 2 π 2

= 2 2 8 π 3 3 + 2 π 4 π 4 + 2 π 2

= 6 π 3 + 3 π 4 π 2 + 3

y C M = 1 m ∫ C   y ρ x , y , z d s = 1 m ∫ 0 2 π   2 t 2 + 1 cos ⁡ t d t = 1 m ∫ 0 2 π   2 t 2 cos ⁡ t + cos ⁡ t d t

= 2 m t 2 sen ⁡ t - 2 sen ⁡ t + 2 t cos ⁡ t + sen ⁡ t 0 2 π = 2 m 4 π = 4 2 π 2 8 π 3 3 + 2 π = 6 4 π 2 + 3

z C M = 1 m ∫ C   z ρ x , y , z d s = 1 m ∫ 0 2 π   2 t 2 + 1 sen ⁡ t d t = 1 m ∫ 0 2 π   2 t 2 sen ⁡ t + sen ⁡ t d t

= 2 m - t 2 c o s ⁡ t + 2 c o s ⁡ t + 2 t s e n ⁡ t - c o s ⁡ t 0 2 π = 2 m - 4 π 2 + 2 + 0 + 0 - 2 - 0 = - 4 π 2 2 2 8 π 3 3 + 2 π = - 6 π 4 π 2 + 3

Resposta

m = 2 8 π 3 3 + 2 π 6 π 3 + 3 π 4 π 2 + 3 , 6 4 π 2 + 3 , - 6 π 4 π 2 + 3

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação 4 para o centro de massa x C M ,y C M ,z C M de um arame fino com função densidade ρ x ,y ,z e forma da curva espacial C .(b) Determine o centro de massa de
Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da hélice x = t, y = cos ⁡ t, z = s e nt, 0 ≤ t ≤ 2 π, se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distância do ponto à
Use o Exercício 22 para encontrar o centroide da região triangular de vértices 0,0 ,( a , 0 ) e ( a , b ) , onde a0 e b0 .
Determine a massa e o centro de massa de um arame fino no formato de um quarto de círculo x 2 + y 2 = r 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , se a função densidade for ρ x , y = x + y
Dado um arame semicircular uniforme de raio 4 cm.Mostrar que o momento de inércia em relação ao diâmetro que passa pelos extremos do arame 8 M , sendo M a massa do arame.