Um arco de metal delgado está ao longo da semicircunferência no plano . A densidade no ponto sobre o arco é Encontre o centro de massa.
Passo 1
Quando ele pede o centro de massa, na verdade ele pede os valores das coordenadas e .
Então, como vimos, encontramos pelas integrais de linha:
Onde a massa , nós calculamos também por uma integral de linha:
No enunciado, ele já dá a densidade , então, pra começar, vamos parametrizar a curva.
Passo 2
Temos a equação cartesiana da curva, que, se desenvolvermos mais um pouco, fica:
Que seria a equação da circunferência de raio , certo?
Mas cuidado! Como ele diz no enunciado, a curva é uma semicircunferência e, na verdade, só estamos interessados na parte .
A parametrização, então, é dada por , com , lembrando que são apenas os valores de não negativos.
Passo 3
Agora, podemos calcular
Pelo menos um valor simples, né? Mas agora respira fundo que são 3 integrais pra calcular!
Passo 4
Vamos começar com a massa:
Pra lembrar, já temos a densidade, que aplicando a parametrização fica ; e o módulo do vetor tangente vale . Então, substituindo:
Agora sim podemos calcular as coordenadas do centro de massa.
Passo 5
Primeiro vamos achar a coordenada
Já temos a massa . Então, vamos calcular a integral de cima separado:
De novo, lembramos que já temos a parametrização de , que é ; a densidade, que com as variáveis parametrizadas fica ; e o módulo do vetor tangente vale .
Jogando tudo na fórmula, temos:
Tudo isso pra chegarmos em ?? Bem, pelo menos é o valor mais simples possível, então não vamos reclamar. haha
Nossa coordenada: .
Passo 6
Pra finalizar, vamos calcular a coordenada , dada por:
E, de novo, vamos calcular a integral separada pra ficar organizado:
Mais uma vez, vamos usar: a parametrização de , que usamos ; a densidade, ; e o módulo do vetor tangente vale . Vamos substituir, para ter:
É, com esse não tivemos tanta sorte...
Mas então, pra fechar, finalmente:
Nada simpático, mas terminamos!